Геометрические фигуры. Шар, сфера.

Шаровой (сферической)  – другими словами границей шара – поверхностью является геометрическое место точек (т.е. множество всех точек) в пространстве, которые равноудалены от одной точки O, называющейся центром сферической поверхности.

Понятие шара в метрическом пространстве естественным образом обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Т.о., точками сферы оказывается каждая точка шара, которая удалена от центра на расстояние, которое равно радиусу. Каждый отрезок, который соединяет центр шара и точку на шаровой поверхности, тоже называют радиусом.

Отрезок, который соединяет 2 точки шаровой поверхности и который проходит сквозь центр шара, называется диаметр. Любой диаметр соответствует 2-м радиусам. Концы всякого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Эта точка О называется центром сферы, а расстояние AO, в свою очередь, называется радиусом сферы.

Радиус AO и диаметр AB находят тем же способом, что и для окружности.

Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у сферы.

Шар — это тело правильно геометрической формы, ограниченное поверхностью шара. Шар возможно получить, методом вращения полукруга/круга около диаметра.

Любое плоское сечение шара является кругом. Чем ближе секущая плоскость к центру шара, тем радиус круга становится больше. Самый большой круг оказывается при прохождении плоскости через центр O. Этот круг разделяет шар на две равные части и он называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.

Меридианы шара (сферы).

Сквозь 2 точки шара, которые лежат на концах общего диаметра, возможно провести бесконечное число больших кругов — меридианов. Через 2 точки, которые не на концах общего диаметра шара возможно провести всего лишь 1 большой круг.

Основные геометрические формулы шара (сферы).

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r, диаметра d можно определить по формулам:

Определения, связанные с понятием шара.

Предположим, дано метрическое пространство (X, ρ). Значит:

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке  и радиусом r>0 будет называться

множество:

Замкнутый шар с центром в x₀ и радиусом r можно выразить так:

• Шар радиуса r с центром x₀ еще называют r-окрестностью точки x₀.

Свойства шара.

• Шар – это открытое множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.

• Замкнутый шар — замкнутое множество в топологии, порождённой метрикой ρ.

• По определению этой топологии открытые шары с центрами в любой точке X представляют собой её базу.
• Т.е., . Но замыкание открытого шара не всегда совпадает с замкнутым шаром:
• Например: допустим (X, ρ) — дискретное метрическое пространство, и X состоит из более, чем 2-х точек. Значит, для всякого  будет:

• Объём шара в 1,5 раз меньше, чем объём описанного вокруг этого шара цилиндра, а поверхность шара в 1,5 раз меньше полной поверхности этого цилиндра:

где S_шара и V_шара – поверхность и объём шара;

 S_цил и V_цил – полная поверхность и объём описанного цилиндра вокруг шара.

Часть шара (сферы), которая отсекается от него любой плоскостью (ABC), является шаровым (сферическим) сегментом. Круг ABC является основанием шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, который проведен из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, является высотой шарового сегмента. Точка M является вершиной шарового сегмента.

Часть сферы, которая заключена между 2-мя плоскостями, которые параллельны ABC и DEF, которые пересекают сферическую поверхность, является шаровым слоем. Кривая поверхность шарового слоя является шаровым поясом. Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота. Часть шара, которая ограничена кривой поверхностью сферического сегмента (AMCB) и конической поверхностью OABC, основанием у нее является основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O, называется шаровым сектором.

Формулу объёма шара можно объяснить следующими рассуждениями. В шаре возможно разместить огромное количество пирамид с очень маленькими основаниями, разместив пирамиды таким образом, чтобы их вершины располагались в центре шара, а основания лежали бы на поверхности шара и эти пирамиды соприкасались бы боковыми гранями.

Высота любой построенной пирамиды приблизительно равна радиусу (R) шара. Если не обращать внимание различиями этих длин, то объём (v) всех пирамид отдельно можно представить такой формулой:

v = 1/3 sR

где s — площадь основания пирамиды.

Значит, сумма объёмов (V') пирамид выразим формулой:

V' = 1/3 S'R,

где S' — сумма площадей оснований пирамид.

Сумма (S') очень близка к площади поверхности шара (S).

Сумма объёмов всех пирамид (V') приблизительно равна объёму (V) шара. Если не обращать внимание на незначительные различия в этих величинах, тогда получится такая формула:

V = 1/3 SR ,

которая показывает, что объём шара соответствует 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Зачастую озвучивают так: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.

Используя выражение S = 4πR², вывели формулу:

V = 4/3πR³,

или V = 1/6 πD³,

где D — диаметр шара.

Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённых рассуждений можно было принять его приближённым, хотя в старших классах средней школы доказываем, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.