Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая обобщающает теорему Пифагора.

 

Теорема косинусов:

 

       Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a,         справедливо соотношение:

 

                a2 = b2 + c2 – 2bc cosα.

 

Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

Следствие из теоремы косинусов.

  • Теорема косинусов используется для определения cos угла треугольника:

 

Если конкретно:

  • Когда b2 + c2 - a2 > 0, угол α будет острым;
  • Когда b2 + c2 - a2 = 0, угол α будет прямым (когда угол α является прямым, значит, теорема косинусов переходит в теорему Пифагора);
  • Когда b2 + c2 - a2 < 0, угол α будет тупым.

 

Классическое доказательство теоремы косинусов.

Пусть есть треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Значит:

AD = b cos α,

DB = c – b cos α

 

 

Записываем теорему Пифагора для 2-х прямоугольных треугольников ADC и BDC:

 

h2 = b2 - (b cos α)2 (1)

h2 = a2 - (c – b cos α)2 (2)

 

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):

 

b2 - (b cos α)2 = a2 - (c - b cos α)2

либо

a2 = b2 + c2 - 2bc cos α.

 

Если 1-н из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определить стороны b и c:

 

b2 = a2 + c2 - 2ac cos β

c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ.

 

Теорема косинусов для остроугольного треугольника.

Если угол острый, то справедлива формула:

 

a2= b2+ c2−2bx

 

Теорема косинусов для прямоугольного треугольника.

 

Теорема косинусов для тупоугольного треугольника.

 

Если угол тупой, то справедлива формула:

 

a2= b2+ c2+ 2bx.