Угол. Свойства смежных и вертикальных углов.

Теорема.

Сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

Даны два смежных угла: АОВ и ВОС. Требуется доказать, что:

∠АОВ+∠ВОС= d+ d = 2d

Восставим из точки О к прямой АС перпендикуляр OD. Мы разделили угол АОВ на две части AOD и DOB так, что можно написать:

∠AOB = ∠ AOD+∠ DOB

Прибавим к обеим частям этого равенства по одному и тому же углу BOС, отчего равенство не нарушится:

∠ AOB + ∠ BOС = ∠ AOD + ∠ DOB + ∠ BOС

Так как сумма DOB + BOС составляет прямой угол DOС, то

∠ AOB+ ∠ BOС = ∠ AOD + ∠ DOС = d + d = 2d,

что и требовалось доказать.

Следствия.

1. Сумма углов (AOB, BOС, СOD, DOE ), расположенных вокруг общей вершины (O) по одну сторону прямой (AE) равна 2d= 180⁰, потому что эта сумма составляет сумму двух смежных углов, например таких: АОС + СОЕ

2. Сумма углов, расположенных вокруг общей вершины (O) по обе стороны какой-нибудь прямой равна 4 d=360⁰,

Обратная теорема.

Если сумма двух углов, имеющих общую вершину и общую сторону и не покрывающих друг друга, равна двум прямым углам (2d), то такие углы - смежные, т.е. две другие их стороны составляют прямую линию.

Если из одной точки ( O) прямой (AB) восстановить к ней, по каждую ее сторону, перпендикуляры, то эти перпендикуляры образуют одну прямую (СD). Из всякой точки вне прямой можно опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один.

Потому, что сумма углов COB и BOD равна 2d.

Прямая С части которой OС и OD служат перпендикулярами к прямой AB, называется прямой перпендикулярной к AB.

Если прямая СD перпендикулярна к прямой AB, то и наоборот: AB перпендикулярна к СD, потому что части OA и OB служат также перпендикулярны к СD. Поэтому прямые AB и СD называются взаимноперпендикулярными.

То, что две прямые  AB и СD взаимноперпендикулярны, выражают письменно так AB ^ СD.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного составляют продолжение сторон другого.

Так, при пересечении двух прямых AB и СD образуются две пары вертикальных углов: AOD и СOB; AOС и DOB .

Теорема.

Два вертикальных угла равны.

Пусть даны два вертикальных угла: AOD и СOB т.е. OB есть продолжение OA, а OС продолжение OD.

Требуется доказать, что AOD = СOB.

По свойству смежных углов можем написать:

AOD + DOB = 2d

DOB + BOС = 2d

Значит:   AOD + DOB = DOB + BOС.

Если вычесть из обеих частей этого равенства по углу DOB, получим:

AOD = BOС, что и требовалось доказать.

Аналогично докажем, что AOС = DOB.