Производные некоторых простейших функций (физический и геометрический смысл).

1. Производная постоянной величины равна нулю:

(а)' = 0.

Физический смысл производной функции заключается в том, что скорость неподвижной точки равна нулю.

Геометрический смысл производной функции заключается в том, что угловой коэффициент прямой у = а ОX (UV) равен нулю.

Но, нужно помнить, что иногда, для некоторых значений х, производная функции может равняться нулю, при этом функция не является постоянной величиной.

Например, для случая, когда производная (sin х) ' = cos x равна нулю при х= π/2 , х = -3π/2 и т. д.

В случае когда, производная f ' (x) равна нулю тождественно, функция f(x) обязательно постоянная величина.

Рассмотрим еще один пример.

Угловым коэффициентом прямой линии у = ах + b (в данном случае этот коэффициент равен а) является производная функции у = ах + b (касательная к прямой линии есть она сама).

2. Производная независимой переменной равна единице:

(х)' = 1.

Геометрический смысл данной производной состоит в том, что угловой коэффициент прямой у = х равен единице.

Физический смысл заключается в том, что путь, пройденный телом, численно равен времени пребывания в движении, при этом скорость численно равна единице.

3. Производная линейной функции у = ах + b есть постоянная величина а:

(ах + b) ' = а.

4. Производная степенной функции равна произведению показателя степени на степенную функцию, у которой показатель на единицу меньше:

(хⁿ) ' = nx^{n – 1}.

Например: