Дифференцирование – определение производных и дифференциалов всех порядков от функции одной переменной и частных производных и дифференциалов, кроме того, полных дифференциалов от функций большинства переменных.
Докажем формулу . Из определения производной получаем:
Произвольный множитель выносят за знак предельного перехода (свойства предела), значит получаем:
Что и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим на нескольких примерах выше указанное правило.
Пример 1.
Найдем производную функции .
Используя таблицу производных для тригонометрических функций находим . Пользуемся правилом вынесения множителя за знак производной и находим:
Очень часто нужно для начала упростить вид функции, которую дифференцируем, для того, чтобы можно было воспользоваться таблицей производных и правилами определения производных. Это хороши показано в таких примерах:
Пример 2.
Продифференцируем функцию .
Из свойств логарифмической функции легко переходим к виду . Далее выносим постоянный множитель, вспоминая производные логарифмических функций:
Пример 3.
Найдем производную функции .
Преобразовываем заданную функцию и получаем:
.
Применяя правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы беря производную показательной функции получаем:
.