Дифференцирование – определение производных и дифференциалов всех порядков от функции одной переменной и частных производных и дифференциалов, кроме того, полных дифференциалов от функций большинства переменных.

 

Докажем формулу Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной.. Из определения производной получаем:

 

Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной.

 

Произвольный множитель выносят за знак предельного перехода (свойства предела), значит получаем:

 

Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной.

Что и требовалось доказать.

 

Теперь рассмотрим на нескольких примерах выше указанное правило.

 

Пример 1.

Найдем производную функции Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной..

Используя таблицу производных для тригонометрических функций находим Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной.. Пользуемся правилом вынесения множителя за знак производной и находим:

Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной.

 

Очень часто нужно для начала упростить вид функции, которую дифференцируем, для того, чтобы можно было воспользоваться таблицей производных и правилами определения производных. Это хороши показано в таких примерах:

 

Пример 2.

Продифференцируем функцию Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной..

 

Из свойств логарифмической функции легко переходим к виду Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной.. Далее выносим постоянный множитель, вспоминая производные логарифмических функций:

 

Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной.

 

Пример 3.

Найдем производную функции Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной..

Преобразовываем заданную функцию и получаем:

 

Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной..

 

Применяя правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы беря производную показательной функции получаем:

 

Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной..