Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной.

Дифференцирование – определение производных и дифференциалов всех порядков от функции одной переменной и частных производных и дифференциалов, кроме того, полных дифференциалов от функций большинства переменных.

Докажем формулу . Из определения производной получаем:

Произвольный множитель выносят за знак предельного перехода (свойства предела), значит получаем:

Что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим на нескольких примерах выше указанное правило.

Пример 1.

Найдем производную функции .

Используя таблицу производных для тригонометрических функций находим . Пользуемся правилом вынесения множителя за знак производной и находим:

Очень часто нужно для начала упростить вид функции, которую дифференцируем, для того, чтобы можно было воспользоваться таблицей производных и правилами определения производных. Это хороши показано в таких примерах:

Пример 2.

Продифференцируем функцию .

Из свойств логарифмической функции легко переходим к виду . Далее выносим постоянный множитель, вспоминая производные логарифмических функций:

Пример 3.

Найдем производную функции .

Преобразовываем заданную функцию и получаем:

.

Применяя правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы беря производную показательной функции получаем:

.