Метод Гаусса — стандартный способ решения СЛАУ - метод последовательного исключения переменных, то есть, при помощи простейших изменений систему уравнений приводят к эквивалентной системе треугольного вида и из нее, шаг за шагом, начиная с последних (по номеру), находят каждую переменную системы.
Метод Гаусса – самый мощный и универсальный инструмент для вычисления решения всякой СЛУ. Правило Крамера и матричный метод не подходят для таких случаев, когда у системы нескончаемо много решений или система является несовместной.
Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.
Описание метода Гаусса.
Дана система уравнений:
Матрица A - это основная матрица системы, b — столбец свободных членов.
Значит, из свойства простейших изменений строк, основную матрицу этой системы приводим к ступенчатому виду (так же делаем и со столбцом свободных членов):
Считается, что базисный минор (минор максимального порядка, не равный нулю) основной матрицы расположен в верхнем левом углу, т.е. он состоит лишь из коэффициентов при переменных xj1,…,xjr.
Значит, переменные xj1,…,xjr будут главными переменными. Остальные переменные – свободные переменные.
Если хотя бы одно число βi≠0, где i>r, то данная система несовместна, то есть у неё нет решений.
Пусть βi=0 для любых i>r.
Переносим свободные переменные на другую сторону от знаков равенств и делим все уравнения системы на свой коэффициент при самом левом x (αiji,i=1,…,r, где i — номер строки):
Если свободным переменным системы (2) придать каждое возможное значение и решать полученную систему относительно главных неизвестных снизу вверх (т.е. от нижнего к верхнему уравнению), значит, получим все решения этой системы уравнений. Т.к. эту систему получили произведя элементарные преобразования над заданной системой (1), значит, из теоремы об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) равнозначны, т.е. множества их решений совпадают.
Следствия из метода Гаусса.
1. Когда в совместной системе каждая переменная является главной, такая система будет определённой.
2. Когда число переменных в системе больше числа уравнений, это или неопределенная, или несовместная система.
Алгоритм Гаусса для решения САУ.
В элементарном варианте алгоритм выглядит так:
Прямой ход:
Обратный ход. Из последнего уравнения, не равного нулю, выражают базисную переменную через небазисные и подставляют в предыдущие уравнения. Повторяют эту процедуру для каждой базисной переменной и получают фундаментальное решение.