Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка записывают как:
,
а линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка записывают как:
,
где функции f(x), p(x) и q(x) являются непрерывными на интервале интегрирования X.
В частном случае, когда функции p(x) = p и q(x) = q являются постоянными, с определением общего решения можете познакомиться в разделах линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для понимания того, в каком виде необходимо искать общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений и линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка необходимо сформулировать 2 теоремы:
Теорема 1.
Общее решениее y0 ЛОДУ 
на интервале X с непрерывными коэффициентами 
на X - линейная комбинация n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения 
с произвольными постоянными коэффициентами 
, т.е. 
.
Теорема 2.
Общим решением y ЛНДУ на интервале X с непрерывными на этом же промежутке X коэффициентами 
и функцией f(x) является суммой 
, где y0 - является общим решением решаемого линейного однородного дифференциального уравнения , а 
- является любым частным решением заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Тогда,
- y0=C1⋅y1+C2⋅y2 - является общим решением ЛОДУ , где y1 и y2 – являются его линейно независимыми частные решения,
- а
- является общим решением ЛНДУ , где - является любым из частных решений уравнения, а y0 - является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Теперь рассмотрим методы определения y1, y2 и .
В самых элементарных примерах эти функции вычисляются методом подбора. Линейно независимые функции y1 и y2 чаще всего определяют из наборов:
Проверить линейную независимость функций y1 и y2 можно при помощи определителя Вронского:
.
Если функции линейно независимы на интервале X, значит, определитель Вронского не равен нулю для всех x из промежутка X.
Например, функции y1 = 1 и y2 = x являются линейно независимыми для всех действительных значений x, потому что
.
Функции y1 = sinx и y2 = cosx тоже являются линейно независимыми на R, потому что
А функции y1 = - x - 1 и y2 = x + 1 являются линейно зависимыми на интервале (-∞; +∞), потому что
В общем случае определение функций y1, y2 и методом подбора достаточно сложно и зачастую невозможно.
Если удастся подобрать нетривиальное (не равное нулю) частное решение y1 линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка , тогда общее решение этого уравнения можно найти методом понижения степени уравнения до первой при помощи подстановки 
.
Разберем метод на примере.
.Решение.
Хорошо видно, что y1 = x оказывается частным решением исходного уравнения 
при x не равном нулю. Понижаем степень заданного ЛОДУ используя замену
откуда 
.
Вспоминая правило дифференцирования произведения и свойства неопределенного интеграла, получаем
.
Подставляем полученные результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Интегрируем обе части равенства:
произведя потенцирование, записываем общее решение исходного уравнения
,
где С – является произвольной постоянной.
Т.к. мы принимали 
, то общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается как:
,
где F(x) является одной из первообразных функции 
.
В элементарных функциях первообразная F(x) не выражается.
Решая ЛНДУ второго порядка , если получилось вычислить y1 и y2, тогда можно не подбирать . В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно найти варьируя произвольные постоянные.
Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения будет выглядеть так:
y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2.
Варьируя произвольные постоянные, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем
y0 = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2.
Производные неизвестных функции C1(x) и C2(x) вычисляются из системы уравнений
,
а функции C1(x) и C2(x) вычисляются при дальнейшем интегрировании.
Вывод:
- Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка определяется как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 – являются его линейно независимыми частными решениями. Частные решения y1 и y2 находятся методом подбора (зачастую из известных систем линейно независимых функций). y1 и y2 подобрать получается не всегда, поэтому, находить общее решение ДУ не всегда возможно. Если одно частное решение y1 определено, тогда порядок уравнения можно снизить до первого при помощи замены . Общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка получают решив это уравнение.
- Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка определяется как , где
- является любым его частным решением, а y0 - является общим решением заданного линейного однородного дифференциального уравнения. Тогда, первым шагом, вычисляется y0 - общее решение ЛОДУ (если это возможно), после этого производится подбор (если получится). Либо для начала производится подбор y1 и y2, а общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения вычисляется путем вариации произвольных постоянных.
Разбор ЕГЭ 2013 по математике. Задание С1
