Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка записывают как:

 ,

а линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка записывают как:

,

где функции f(x), p(x) и q(x) являются непрерывными на интервале интегрирования X.

В частном случае, когда функции p(x) = p и q(x) = q являются постоянными, с определением общего решения можете познакомиться в разделах линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для понимания того, в каком виде необходимо искать общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений и линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка необходимо сформулировать 2 теоремы:

Теорема 1.

Общее решениее y0 ЛОДУ  на интервале X с непрерывными коэффициентами  на X - линейная комбинация n линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения  с произвольными постоянными коэффициентами , т.е. .

 

Теорема 2.

Общим решением y ЛНДУ  на интервале X с непрерывными на этом же промежутке X коэффициентами  и функцией f(x) является суммой , где y0 - является общим решением решаемого линейного однородного дифференциального уравнения , а  - является любым частным решением заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Тогда,

  • y0=C1⋅y1+C2⋅y2 - является общим решением ЛОДУ , где y1 и y2 – являются его линейно независимыми частные решения,
  • а  - является общим решением ЛНДУ , где  - является любым из частных решений уравнения, а y0 - является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 

Теперь рассмотрим методы определения y1, y2 и .

В самых элементарных примерах эти функции вычисляются методом подбора. Линейно независимые функции y1 и y2 чаще всего определяют из наборов:


Проверить линейную независимость функций y1 и y2 можно при помощи определителя Вронского: 

.

Если функции линейно независимы на интервале X, значит, определитель Вронского не равен нулю для всех x из промежутка X.

Например, функции y1 = 1 и y2 = x являются линейно независимыми для всех действительных значений x, потому что

.

Функции y1 = sinx и y2 = cosx тоже являются линейно независимыми на R, потому что

А функции y1 = - x - 1 и y2 = x + 1 являются линейно зависимыми на интервале (-∞; +∞), потому что

В общем случае определение функций y1, y2 и  методом подбора достаточно сложно и зачастую невозможно.

Если удастся подобрать нетривиальное (не равное нулю) частное решение y1 линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка , тогда общее решение этого уравнения можно найти методом понижения степени уравнения до первой при помощи подстановки .

Разберем метод на примере.

Необходимо вычислить общее решение ЛОДУ 2-го порядка  .

Решение.

Хорошо видно, что y1 = x оказывается частным решением исходного уравнения  при x не равном нулю. Понижаем степень заданного ЛОДУ используя замену 

 

откуда .

Вспоминая правило дифференцирования произведения и свойства неопределенного интеграла, получаем

.

Подставляем полученные результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: 

Интегрируем обе части равенства:

  

произведя потенцирование, записываем общее решение исходного уравнения

 ,

где С – является произвольной постоянной.

Т.к. мы принимали , то общее решение заданного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается как:

 ,

где F(x) является одной из первообразных функции .

В элементарных функциях первообразная F(x) не выражается.

Решая ЛНДУ второго порядка , если получилось вычислить y1 и y2, тогда можно не подбирать . В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно найти варьируя произвольные постоянные.

Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения будет выглядеть так:

 y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2.

Варьируя произвольные постоянные, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения принимаем 

y0 = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2.

Производные неизвестных функции C1(x) и C2(x) вычисляются из системы уравнений 

,

а функции C1(x) и C2(x) вычисляются при дальнейшем интегрировании.

 

Вывод:

  • Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка  определяется как y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2, где y1 и y2 – являются его линейно независимыми частными решениями. Частные решения y1 и y2 находятся методом подбора (зачастую из известных систем линейно независимых функций). y1 и y2 подобрать получается не всегда, поэтому, находить общее решение ДУ  не всегда возможно. Если одно частное решение y1 определено, тогда порядок уравнения можно снизить до первого при помощи замены . Общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка получают решив это уравнение.
  • Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  определяется как , где  - является любым его частным решением, а y0 - является общим решением заданного линейного однородного дифференциального уравнения. Тогда, первым шагом, вычисляется y0 - общее решение ЛОДУ  (если это возможно), после этого производится подбор  (если получится). Либо для начала производится подбор y1 и y2, а общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения вычисляется путем вариации произвольных постоянных.