Для всех видов функции f(x) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно определить при помощи метода вариации произвольных постоянных.

Если известны Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных. - n линейно независимых частных решений соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения, то, варьируя произвольные постоянные, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами записывается в таком виде:

Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных..

Производные функций Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных. вычисляются из системы уравнений: 

Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных. ,

а функции Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных. можно вычислить при дальнейшем интегрировании.

 

Пример.

Найти общее решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных..

Решение.

Характеристическое уравнение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения: 

Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных..

Корни данного уравнения: k1=0, k2=2 и k3=3. Значит, общим решением линейного однородного дифференциального уравнения является:

Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных.

и частными линейно независимыми решениями оказываются 

Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных..

Произведя варьирование произвольных постоянных, получаем: Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных..

Для определения C1(x), C2(x) и C3(x) составляется система уравнений:

Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных.

Решим эту систему уравнений методом Крамера:

Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных.

Интегрируя Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных. при помощи таблицы первообразных, а Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных.и Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных. методом интегрирования по частям, имеем:

Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных.

Т.о., общее решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами выглядит так:

Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных. ,

где C4, C5 и C6 – являются произвольными постоянными.