Арифметический корень.

Для того чтобы понять, что такое арифметический корень решим простую задачу по нахождению стороны квадрата площадь которого равна 9 см². Если принимаем, что сторона квадрата А см, то составляем согласно условиям задачи уравнение:

А х А =9

А²  =9

А² -9 =0

(А-3)(А+3)=0

А=3 или А=-3

Длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому искомая стороны квадрата 3 см.

При решении уравнения мы нашли числа 3 и -3, квадраты которых равны 9. Каждое из этих чисел называют квадратным корнем из числа 9. Неотрицательный из этих корней, то есть число 3, называют арифметическим корнем числа.

Вполне логично принять тот факт, что корень можно находит из чисел в третьей степени (кубический корень), четвертой степени и так далее.  И в принципе корень - это обратная операция к возведению в степень.

Корнем n -й степени из числа α является такое число b, где  bⁿ = α. 

Здесь n—натуральное число принято называть показателем корня (или степенью корня); как правило, оно больше или равно 2, потому что случай n = 1 банально.

Обозначают на письме так  символ (знак корня) в правой части называется радикалом. Число α  - подкоренное выражение. Для нашего примера со стороной  решение могло иметь такой вид:   потому что (±3)² = 9.

 Мы получили положительное и отрицательное значение корня. Эта особенность усложняет расчеты. Чтобы добиться однозначность, было введено понятие арифметического корня, значение которого всегда со знаком плюс, то есть только положительное.

Корень называется арифметическим, если он извлекается из положительного числа и сам является положительным числом.

Например, 

Арифметический корень заданной степени из заданного числа существует только один.

Операцию расчетов  принято называть «извлечением корня n-й степени» из числа α. По сути мы выполняем операцию обратную к возведению в степень, а именно — нахождение основания степени b по известному показателю n и результату возведения в степень 

 α = bⁿ.

Корни второй и третьей степени используются на практике чаще остальных и поэтому им были даны специальные названия.

Квадратный корень:  В этом случае показатель степени 2 принято не писать, а термин «корень» без указания степени чаще всего означает квадратный корень. Геометрически толкование,  является длина стороны квадрата, площадь которого равна α.

Кубический корень:   Геометрически толкованием, выступает длина ребра куба, объём которого равен α.

Свойства арифметических корней.

1) При вычислении арифметического корня из произведения, необходимо извлечь его из каждого сомножителя отдельно

Например, 

2) Для расчета корня из дроби, необходимо извлечь его из числителя и знаменателя данной дроби

Например,

3) При расчете корня из степени,  необходимо разделить показатель степени на показатель корня

Например,

Первые расчеты, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в работах математиков древнего Вавилона и Китая, Индии, Греции (о достижениях древнего Египта в этом отношении в источниках информация отсутствует).

Математики древнего Вавилона (II тысячелетие до н. э.) применяли для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для квадратного корня находили исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа n. Представив подкоренное выражение в виде: α=n²+r, получаем: x₀=n+r/2n, затем применялся итеративный процесс уточнения:

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для ,

Например,  α=5; n=2; r=1; x₀=9/4=2,25 и мы получаем последовательность приближений:

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Правила вычисления любой степени из целого числа, изучены математиками Индии и арабских государств. Далее они получили широкое развитие в средневековой Европе. 

Сегодня для удобства расчетов квадратных и кубических корней широко используются калькуляторы.