Уравнения кривых. Кардиоида. Улитка Паскаля.

Если применить две окружности с равными радиусами и вращать одну вокруг другой, то образуется кардиоида(греч. кардиа - сердце) - математики считают, что сформированная кривая отдаленно схожа с сердцем.

Если брать точку не на самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра, тогда будет образована кривая, получившая название Улитка Паскаля или лимакона.

Пусть a – диаметр исходной окружности, а l -  расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус – вектора. Тогда возможны такие варианты улитки Паскаля: а > l, a = l и a < l .При a = l  имеем кардиоиду.

Уравнения, характеризующие кардиоиды имеют вид.

в прямоугольных координатах:

(х² + у² +2аx) ² – 4a²(х² + у²) = 0;

в полярных координатах:

r = 2a (1 – cosφ).

В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

x = 2a cos t – a cos 2t;

y = 2a sin t – a sin 2t.

Длина дуги одного витка кардиоиды, определяется формулой:

r = a (1 – cosφ)

и равна

s = 8a.

Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, определяется формулой:

r = a (1 – cosφ)

и равна:

.

Улитка Паскаля характеризуется уравнениями:

в прямоугольных координатах:

(х² + у² +ау) ² = l²(х² + у²);

 в полярных координатах:

p = l – a sin φ.

Площадь, ограниченная улиткой Паскаля:

.

При а > l площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.