Уравнения кривых. Астроида.

Астроида – плоская кривая, которую формирует траектория точки, расположенной на окружности радиуса r, катящейся без трения по внутренней стороне неподвижной окружности радиуса R = 4r.

Уравнение в декартовой системе координат принимает вид:

х ^2/3 + у ^2/3 = R^2/3.

Параметрическое уравнение:

x = R cos ³ t ;

y = R sin ³ t.

Уравнение в алгебраическом виде:

( x² + y ² - R² ) ³ + 27 R² x² y ² = 0.

Длина дуги от точки с 0 до t ≤ π/2:

.

Длина всей кривой равна 6R.

Радиус кривизны описывается формулой:

.

Площадь, ограниченная кривой представлена такой формулой:

.

Объем тела вращения относительно любой координатной оси описан формулой:

.