Астроида – плоская кривая, которую формирует траектория точки, расположенной на окружности радиуса r, катящейся без трения по внутренней стороне неподвижной окружности радиуса R = 4r.
Уравнение в декартовой системе координат принимает вид:
х 2/3 + у 2/3 = R2/3.
Параметрическое уравнение:
x = R cos 3 t ;
y = R sin 3 t.
Уравнение в алгебраическом виде:
( x2 + y 2 - R2 ) 3 + 27 R2 x2 y 2 = 0.
Длина дуги от точки с 0 до t ≤ π/2:
Длина всей кривой равна 6R.
Радиус кривизны описывается формулой:
Площадь, ограниченная кривой представлена такой формулой:
Объем тела вращения относительно любой координатной оси описан формулой: