Сектор круга — пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами.

Площадь сектора круга равна произведению его дуги на половину радиуса.

Пусть дуга AB сектора AOB содержит n°.Очевидно, что площадь сектора, дуга которого содержит 1°, равна πR2/360:

Площадь сектора круга.

 

Следовательно, площадь S сектора, дуга которого содержит n°, равна:

 

Площадь сектора круга..

 


Поскольку πRn/180 выражает длину дуги AB, то обозначив ее через s, получим:

 

Площадь сектора круга..


Вычислить площадь сегмента, зная радиус круга и число градусов, заключающееся в дуге сегмента.

 

Площадь сектора круга.

 

Чтобы получить площадь сегмента ASB, достаточно из площади сектора AOB вычесть площадь треугольника AOB.

Проведя AС ⊥ OB будем иметь: площадь сектора = 1/2 Rs площадь треугольника = 1/2 OB . AС = 1/2 R . AС.

Следовательно, площадь сегмента  S = 1/2 R( s - AС).

Таким образом, вопрос сводится к вычислению высоты AС. Геометрически ее можно вычислить только в некоторых частных случаях следующим способом. Продолжив AС до пересечения с окружностью в точке D, мы увидим, что AС = СD и ∪AB = ∪BD. Значит, AС есть половина хорды, стягивающей дугу, вдвое большую дуги сегмента.

Отсюда заключаем, что если хорда, стягивающая двойную дугу, будет стороной такого правильного вписанного многоугольника, для которого мы знаем формулу его стороны, то высота AС определится геометрически.

 

Например, пусть дуга сегмента содержит 60°. Тогда AD есть сторона правильного вписанного треугольника. Значит, AС = 1/2R√3.

 

Дуга AB в этом случае равна 1/6 окружности, т.е. 1/3 πR.

Поэтому: площадь сегмента равна:

 

Площадь сектора круга..