Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям.

Арксинус (обозначается как arcsin x; arcsin x — это угол, sin его равняется x).

 

Арксинус (y = arcsin x) – обратная тригонометрическая функция к sin (x = sin y), которая имеет область определения Описание: C:UsersiriffochkaDesktop14032407493.png и множество значений Описание: C:UsersiriffochkaDesktop14032407494.png. Другими словами возвращает угол по значению его sin.

 

Функция y=sin x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y=arcsin x - строго возрастает.

 

Обратные тригонометрические функции. Арксинус.

 

Свойства функции arcsin .

  • arcsin (-x) = - arcsin x функция нечетна,
  • arcsin x > 0 при 0 < x ≤ 1,
  • arcsin x = 0  при х=0,
  • arcsin x > 0 при -1 ≤ х < 0,
  • Описание: arcsin x = left{egin{matrix} arccos sqrt{1-x^2},qquad 0 leqslant x leqslant 1  -arccos sqrt{1-x^2},qquad -1 leqslant x < 0 end{matrix}
ight.,
  • Описание: arcsin x = operatorname{arctg} frac{x}{sqrt{1-x^2}} ,
  • Описание: arcsin x = left{egin{matrix} operatorname{arcctg}, frac{sqrt{1-x^2}}{x},qquad 0 < x leqslant 1  operatorname{arcctg}, frac{sqrt{1-x^2}}{x}-pi,qquad -1 leqslant x < 0 end{matrix}
ight..

 

График арксинуса.

Описание: График функции y=arcsin(x)

 

Получение функции arcsin .

Есть функция y = sin x. На всей своей области определения она кусочно-монотонная, таким образом, обратное соответствие y = arcsin x не является функцией. Поэтому рассматриваем отрезок, на котором она только возрастает и принимает каждое значение области значений — Описание: left [ -frac{pi}{2}; frac{pi}{2} 
ight ]. Т.к. для функции y = sin x на интервале Описание: left [ -frac{pi}{2}; frac{pi}{2} 
ight ] все значения функции получается при только одном значении аргумента, значит, на этом отрезке есть обратная функция y = arcsin x, у которой график является симметричным графику функции y = sin x на отрезке Описание: left [ -frac{pi}{2}; frac{pi}{2} 
ight ] относительно прямой y = x.

 

Таблица арксинусов и арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов.