Формулы степеней и корней.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n-ной степенью числа a когда:

Операции со степенями. 

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a ^m ·a ⁿ = a ^{m + n}.

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…)ⁿ = a ⁿ · b ⁿ · c ⁿ…

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b)ⁿ = a ⁿ/b ⁿ.

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a ^m)ⁿ = a^m n.

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корнями. 

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a ^m:a ⁿ=a ^m - n можно использовать не только при m > n , но и при m < n.

Например. a⁴:a⁷ = a^4 - 7 = a^-3.

Чтобы формула a^m:aⁿ=a^m - n стала справедливой при m=n, нужно присутствие нулевой степени.

 Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например. 2 ⁰= 1,(–5) ⁰ = 1,(–3/5) ⁰ = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n, необходимо извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

В заключение:

Формулы степеней.

1. a⁰ = 1; (a ≠ 0);

2. a¹ = a;

3. aⁿ · a^m = a^{n + m} - произведение степеней;

4. (aⁿ)^m = a^nm - возведение степени в степень;

5. aⁿbⁿ = (ab)ⁿ - произведение степеней;

6. a^-n =  - деление степеней;

7. - деление степеней;

8. a^1/n = ;

Формулы преобразования корней.