Додекаэдр — 1 из 5ти вероятных правильных многогранников.

 

Додекаэдр состоит из 12 пятиугольников. Равносторонних. У додекаэдра 12 граней с 30 ребрами, 20

вершин, при каждой вершине по 3 грани, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине

равна 324°.

 

Элементы симметрии додекаэдра.

 

У додекаэдра центр симметрии состоит из 15 осей симметрии. Все оси проходят через середины

противоположных параллельных ребер.

У додекаэдра 15 плоскостей симметрии. Каждая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани

через вершину и середину противолежащего ребра.

 

Оси симметрии додекаэдра.

 

Додекаэдр.

Плоскости симметрии додекаэдра.

 

Додекаэдр.

 

Развертка додекаэдра.

 

Додекаэдр.

 

Основные формулы додекаэдра.

 

Если за длину ребра принять a, то:

 

Сумма ребер додекаэдра:

 

P = 30a

 

Площадь поверхности додекаэдра:

 

Додекаэдр.

 

Объём додекаэдра:

 

Додекаэдр.

 

Радиус описанной сферы вокруг додекаэдра:

 

Додекаэдр.

 

 

Радиус вписанной сферы в додекаэдр:

 

Додекаэдр.

 

Свойства додекаэдра.

 

  • 20 вершин додекаэдра лежат по 5 в 4-х плоскостях параллельных, и образуют в каждой

параллельных плоскостях по правильному пятиугольнику.

  • Двугранный угол, который лежит между 2-мя смежными гранями додекаэдра

= arccos(-1/√5)≈116°,565.

  • Ʃ плоских углов у любой из двадцати вершин = 324°, телесный (3-х гранный) угол

= arccos(-11/5√5)≈2,9617 стерадиан.

  • Внутрь додекаэдра возможно вписать куб таким образом, что стороны вписанного куба станут

диагоналями додекаэдра.

  • У додекаэдра 3 звёздчатые формы.
  • Внутрь додекаэдра возможно вписать 5 кубов. Если поменять 5-ти угольные грани додекаэдра

плоскими 5-ти угольными звездами таким образом, что исчезнет каждая из ребер додекаэдра, значит

получится пространство 5-ти кубов, которые пересекаются. Додекаэдр перестанет существовать.

Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система 5-ти ортогональностей.

Или симметричное пересечение 5-ти 3-х мерных пространств.