Вектор. Проекция вектора на ось.

Проекцию вектора  на ось ОХ принято понимать в различных смысловых значениях: геометрическом и арифметическом (алгебраическом).

1. Геометрическая проекция вектора  на ось ОХ - это вектор , с исходным значением в точке А'. Данная точка А' является проекцией начала А на рассматриваемую ось ОХ, а конец В' – это проекция конца точки В на ту же ось.

На письме геометрическую проекцию данного вектора можно показать следующим образом:

или .

В случае задачи оси ОХ с помощью вектора с, вектор  называется проекцией вектора  на направление вектора с, и на письме его принято обозначать в виде .

Геометрическую проекцию вектора на ось ОХ иначе принято называть компонентой вектора по оси ОХ.

2. Алгебраической или арифметической проекцией вектора  на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора , которая берется с положительным «+» или с отрицательным «-» знаком, согласно тому, направлен ли рассматриваемый вектор одинаково с осью ОХ или иначе.

На письме обозначается следующим образом:

или .

Геометрическая проекция вектора выражена в виде вектора, а алгебраическая проекция вектора представлена числовым значением.

Например:

Геометрическая проекция (компонента) вектора  (для случая когда  = а) на ОХ - это вектор . Направлен вектор  в ином направлении, по отношению к оси ОХ, а его длина (при единице масштаба ОЕ) равна двум. Тогда получается, что алгебраическая проекция вектора  на ось ОХ выражена отрицательным числом, которое равное -2. Сказанное можно записать в виде:

В случае, когда векторы  и  равны, их алгебраические проекции по одинаковой оси тоже равны между собой  Аналогично можно выразить случай с геометрической проекцией вектора.

Арифметическая проекция одного и того же вектора, но для случая разнонаправленных осей, (О₁Х₁ и О₂Х₂) равна:

.

Аналогично получаем и для случая геометрической проекции векторов, но только при условии параллельности осей, которые нам заданы.

3. Рассмотрим взаимосвязь между компонентой (геометрической проекцией) и алгебраической проекцией вектора.

При условии когда c₁ является разнонаправленным с осью ОХ вектором, и имеет длину равную 1, геометрическая проекция выбранного вектора а по оси ОХ равна произведению вектора с₁ на алгебраическую проекцию вектора а по оси ОХ. Сказанное записывают в виде:

.

В случае параллельности, но разнонаправленности осей алгебраические проекции не равны, т.к. отличаются своим знаком.

Например:

На примере рисунка, иллюстрирующего предыдущий пример, имеем с₁ = . Геометрической проекцией вектора  = a на ось ОХ является вектор , а его алгебраическая проекция это число равное -2.

Таким образом,  =-2 .