Обратная матрица — это матрица A−1, при умножении на которую заданная начальная матрица A даёт в итоге единичную матрицу E:

 

АA−1 = A−1 A = E.

 

Метод обратной матрицы.

Метод обратной матрицы – это один из самых распространенных методов решения матриц и применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в случаях, когда число неизвестных соответствует количеству уравнений.

 

Суть метода обратной матрицы.

Пусть есть система n линейных уравнений с n неизвестными:

 

 

Такую систему можно записать как матричное уравнение A* X = B,

где – матрица системы,

– столбец неизвестных,

– столбец свободных коэффициентов.

 

Из выведенного матричного уравнения выражаем X путем умножения обеих частей матричного уравнения слева на A-1, в результате чего имеем:

 

 A-1 * A * X = A-1 * B

 

Зная, что A-1 * A = E, тогда E * X = A-1 * B либо X = A-1 * B.

 

Следующим шагом определяется обратная матрица A-1 и умножается на столбец свободных членов B.

Обратная матрица к матрице A существует лишь тогда, когда det A ≠ 0. Ввиду этого при решении СЛАУ методом обратной матрицы первым делом находится det A. Если det A ≠ 0, то у системы есть только одно решение, которое можно получить методом обратной матрицы, если же det A = 0, то такая система  методом обратной матрицы не решается.

 

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы:

  1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  2. Получаем определитель матрицы A. Если определитель больше нуля, решаем обратную матрицы дальше, если он равен нулю, то здесь обратную матрицу найти не удастся.
  3. Находим транспонированную матрицу AT.
  4. Ищем алгебраические дополнения, после чего заменяем все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями.
  5. Собираем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы полученной матрицы делим на определитель исходно заданной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно исходной.
  6. Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Приведенный ниже алгоритм решения обратной матрицы по сути такой же, как и приведенный выше, разница только в нескольких шагах: первым делом определяем алгебраические дополнения, а уже после этого вычисляем союзную матрицу C.

  1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  2. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  3. Вычисляем алгебраические дополнения.
  4. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C.
  5. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
  6. Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

 

Нахождение обратной матрицы.

Нахождение обратной матрицы – это лучше всего делать с помощью присоединённой матрицы.

Теорема: Если к квадратной матрице с правой стороны приписать единичную матрицу такого же порядка и при помощи элементарных преобразований над строками преобразовать начальную матрицу, стоящую слева, в единичную, то полученная с правой стороны будет обратной к начальной.

 

Пример нахождения обратной матрицы.

Задание. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Дописываем к заданной матрице А справа единичную матрицу 2го порядка:

 

 

Из 1й строки вычитаем 2ю:

 

 

От второй строки отнимаем 2 первых:

 

 

1ю и 2ю строки меняем местами:

 

 

 

От 2й строки отнимаем 2 первых:

 

 

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке добавляем 2ю:

 

 

 

Итак, слева имеем единичную матрицу, а, значит, матрица, которая стоит справа, будет обратной к заданной изначально.

Т.о., имеем .

 

Ответ после нахождения обратной матрицы: 

 

Замечание. Если на каком-либо этапе в "левой" матрице образуется нулевая строка, значит, что заданная изначально не имеет обратной.