Квадратный корень из a (корень второй степени - ) является решением уравнения .

- значок называется радикал.

 

Другими словами, квадратный корень из a — это число, которое дает a при возведении в квадрат. Процесс вычисления значения  называют извлечением квадратного корня из числа a. Чаще всего под x и a подразумевают числа, однако в некоторых приложениях могут подразумеваться и другие математические объекты, например матрицы и операторы.

 

Пример для вещественных чисел:  так как  У квадратного корня есть противоположные, то есть значения, с разными знаками, (в нашем случае, положительное и отрицательное числа), и это усложняет работу с корнями. Чтобы добиться однозначности, вводят понятие арифметического корня. Его значение при  всегда положительно.

 

Свойства квадратных корней.

  • ;
  •  если а ≥ 0 и b > 0;
  •  если а ≥ 0 и n — натуральное число.
  • Обратите внимание, (−5)2 = 25, но .
  • Корень не может равняться неположительному числу.
  •  — невозможно вычислить, корень из отрицательного числа не существует.
  • Если , то b2 = a, при а ≥ 0 и b ≥ 0.
  • Важно понимать, что квадратный корень - это другая запись степени ½:

 

Например:

 

Дробная степень числа.

Кроме квадратного корня есть еще кубический корень (третьей степени), четвертой и тому подобные корни. Название корня определяется цифрой на корне.



 

Обратите внимание: Корень всех степеней легко представить как дробную степень.

Посмотрим как корни связаны с дробной степенью. Есть x в степени 3/2. Запишем через знак корня это выражение. Знаменатель дробной степени отправляем на корень, а числитель под корень на число.



 

Еще пара примеров:

Обратите внимание:

Только у квадратного корня (корня 1-й степени) нет цифры на корне. Это общепринятый знак.

 

Корень n -ной степени.

Корень n-ной степени из числа a — это такое число, возводя которое в n-ную степень получаем число a.

 

Корень 3-й, 5-й, 9-й — то есть, все корни нечетной степени, — извлекают из положительных и отрицательных чисел.

Квадратный корень и корни 4-й, 10-й, всех четных степеней извлекают только из положительных чисел.

Тогда,  — такое число, что . Как видно, корни записывают как степени с рациональным показателем.

Из определения,

в общем случае:

.

 

Помните, что основание степени a больше нуля.

Выражение  равняется . При этом тоже выполняется условие, что a больше нуля.

 

Например, , , .

 

Примеры вычисления выражений с корнями.

Пример 1.

 

Пример 2.

 

Пример 3.

;

 

Пример 4.