Инвариант — это характеристика некоторого класса (множества) математических объектов быть неизменными при преобразованиях конкретного типа.

Определение инварианта.

Допустим, A — множество и G — множество отображений из A в B. Отображение f из A в множество B будет инвариантом для G, если для каждого Инвариант. Примеры инвариантов. и Инвариант. Примеры инвариантов. выполняется тождество f(a)=f(g(a)).

Концепция инварианта есть одной из самых важных в математике, так как изучение инварианта напрямую связано с задачами классификации объектов разных типов. Иными словами, целью любой математической классификации есть построение определенной полной системы инвариантов (как можно более простой), т.е. той системы, которая отделяет любые 2 неэквивалентных объекта из совокупности, которая рассматривается.

 

Примеры инвариантов.

- Мощность множества - это инвариант для множества биекций. Мощность множества, кардинальное число множества — свойство множеств (в том числе бесконечных), объединяющая понятие количества (численного) элементов конечного множества.

- Определитель, след, собственные вектора и собственные значения матрицы инвариантны в зависимости от выбора базиса.

- В теории дифференциальных уравнений инвариантом является функция, которая  зависит от искомой функции, при ее постоянном значении (первый интеграл).

- Теория инвариантов работает с поиском инвариантных многочленов (или просто «инвариантов») и изучением образовываемой ими алгебры для примера линейных представлений алгебраических групп. Кроме того, действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях.

- Топологический инвариант.

- Задачи на инвариант – это большой класс задач в математике для олимпиад.

- Число Хардвигера и хроматическое число есть инвариантами графа при перенумерации вершин этого графа.

- Инвариант эллиптической кривой — число Инвариант. Примеры инвариантов..

 

Другими словами, инварианты – это числа, алгебраические выражения и др., которые связаны с любым математическим объектом и которые остаются постоянными при заданных преобразованиях объекта либо системы отсчёта, в которой описывают объект. Для того чтоб охарактеризовать некоторую геометрическую фигуру и её положение при помощи чисел, зачастую вводят вспомогательную систему отсчёта – систему координат. Полученные в ней числа x1, x2,..., xn определяют кроме ее отношения к системе отсчетов, но также изучаемую геометрическую фигуру, и при изменении этой системы фигуре будут соответствовать другие числа x'1, х'2,..., х'n. Поэтому когда значение какого-либо выражения f (x1,x2,...,xn) характерно фигуре самой по себе, то оно не должно зависеть от системы отсчёта, то есть должно выполняться соотношение:

f (x1,x2,...,xn) = f (x'1,x'2,...,x'n). (1)

 

Все выражения, которые удовлетворяют соотношению (1), являются инвариантами. Например, положение отрезка M1M2 в плоскости определяется в прямоугольной системе координат двумя парами чисел x1, y1 и x2, y2 — это координаты концов этого отрезка – M1 и M2. Когда образовывается координатная система (методом смещения начала системы и поворота осей) точки M1 и M2 имеют уже такие координаты:

 

x'1, у'1 и x'2, у'2, но (x1 — x2)2 + (y1 — y2)2 = (x'1 — x'2)2 + (y'1 — у'2)2.

 

Таким образом, выражение (x1 — x2)2 + (y1 — y2)2 – это инвариант преобразования прямоугольных координат. Геометрический смысл этого инварианта таков: он квадрат длины отрезка M1M2.