Какие числа являются иррациональными? Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь  (как отношение двух целых чисел), где m — целое число, n — натуральное число. Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

 

Иррациональное число не может иметь точного значения. Только в формате 3,333333…. Например, квадратный корень из двух – является числом иррациональным.

 

Какое число иррациональное? Иррациональным числом (в отличии от рациональных) называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

 

Множество иррациональных чисел зачастую обозначают заглавной латинской буквой  в полужирном начертании без заливки. Т.о.:

,

 

Т.е. множество иррациональных чисел это разность множеств вещественных и рациональных чисел.

 

Свойства иррациональных чисел.

  • Сумма 2-х неотрицательных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
  • Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
  • Всякое вещественное трансцендентное число - это иррациональное число.
  • Все иррациональные числа являются или алгебраическими, или трансцендентными.
  • Множество иррациональных чисел везде плотно на числовой прямой: меж каждой парой чисел есть иррациональное число.
  • Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
  • Множество иррациональных чисел бесконечно, является множеством 2-й категории.
  • Результатом каждой арифметической операции с рациональными числами (кроме, деления на 0) является рациональные числа. Результатом арифметических операций над иррациональными числами может стать как рациональное, так и иррациональное число.
  • Сумма рационального и иррационального чисел всегда будет иррациональным числом.
  • Сумма иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, пусть x иррациональное, тогда y=x*(-1) тоже иррациональное; x+y=0, а число 0 рациональное (если, например, сложить корень любой степени из 7 и минус корень такой же степени из семи, то получим рациональное число 0).

 

Иррациональные числа, примеры.

γ — ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

 

  •  для любого натурального n, не являющегося точным квадратом;
  • ex для любого рационального x ≠ 0;
  • ln x для любого положительного рационального x ≠ 1;
  •  (число пи), а также n для любого целого n ≠ 0.