Центростремительное ускорение (нормальное ускорение)

Центростремительное ускорение (нормальное ускорение) - объект, который движется по круговой орбите радиуса r с равномерной касательной скоростью u – это вектор скорости v, величина которого постоянна, но направление которого постоянно меняется. Отсюда следует, что объект должен иметь ускорение, так как (вектор) – это степень изменения (вектор) скорости, и (вектор) скорость действительно различны по времени.

Предположим, что объект движется от точки P к точке Q между временем t и, t + δt как показано на рисунке выше. Предположим, далее, что объект поворачивается на δθ радианов в этот промежуток времени. Вектор , как показано на схеме, идентичен вектору . Кроме того, угол, между векторами  и  это δθ. Вектор  представляет собой изменение в вектор скорости, δv, между временем t и t + δt. Отсюда понятно, что этот вектор направлен к центру круга. Из стандартной тригонометрии, длина вектора :

Тем не менее, при малых углах sin θ ≃ θ, при условии, что θ измеряется в радианах. Следовательно,

δv ≃ v δθ.

Значит,

где  - это угловая скорость объекта в радианах в секунду. Таким образом, объект, движущийся по круговой орбите, радиусом r, при равномерной тангенциальной скорости v, и равномерной угловой скорости , имеет ускорение, направленное к центру круга - то есть, центростремительное ускорение – величиной:

Предположим, что тело, массой m, прикреплен к концу кабеля, длиной r, и вращается таким образом, что тело описывает горизонтальный круг, радиуса r, с равномерной тангенциальной скоростью v. Как мы только что узнали, тело обладает центростремительным ускорением величины . Следовательно, тело испытывает центростремительную силу

Что дает эту силу? Хорошо, на данном примере, сила обеспечивается натяжением кабеля. Следовательно, .

Предположим, что кабель таков, что он рвется, когда напряжение в нем превышает некоторое критическое значение . Отсюда следует, что существует максимальная скорость, с которой тело может двигаться, а именно:

Если v превышает v_max, то кабель будет рваться. Как только кабель порвется, тело перестанет испытывать центростремительную силу, так что оно будет двигаться со скоростью v_max по прямой линии, которая является касательной к круговой орбите, ранее существовавшей.