Многоугольник. Формула Пика.

Возьмем невырожденный простой целочисленный многоугольник (значит он связный - две его произвольные точки могут быть объединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и у всех его вершин целые координаты, его граница - связная ломаная без самопересечений, и у него не ненулевую площадь).

Для расчета площади такого многоугольника можно применить нижеследующую теорему открытую австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году.

Пусть N — число узлов внутри многоугольника, M — численность узлов на его границе, S— его площадь. Тогда применима Формула Пика:

S = M/2 + N – 1.

Под «узлами» понимают пересечение линий.

Формула Пика нашла широкое применение для нахождения площади многоугольника построенного на листе в клетку. Масштаб клетки при этом равен 1 см².

Вычислим площадь трапеции:

Выделим узлы:

M = 24 (указаны красным цветом);

N = 25 (указаны синим цветом).

S= 24/2 + 25 -1 = 36 cм².

Найдем площадь ниже представленного многоугольника:

Выделим узлы:

M = 11 (указаны красным цветом);

N = 5 (указаны синим цветом).

S = 11/2 + 5 – 1 = 9.5 cм².