ЕГЭ формулы, шпаргалки - Формулы векторного анализа.

Некоторые формулы векторного анализа.
Градиент скалярной функции f(r):

в декартовой системе координат xyz: ,

в сферических координатах ,

в цилиндрических координатах ,

Дивергенция векторной функции F:

в декартовой системе координат xyz: ,

в сферических координатах : 

,

где — физические компоненты вектора F;

в цилиндрических координатах , где  — физические компоненты вектора F в сферических координатах .

Ротор векторной функции F:

в декартовой системе координат xyz:

,

в сферических координатах :

,

в цилиндрических координатах :

,

Простейшие формулы вычисления градиента, дивергенции и ротора (C — постоянная, c — постоянный вектор):

.

Оператор Лапласа от скалярной функции f:

.

Оператор Лапласа в декартовой системе координат xyz:

.

в сферических координатах : 

,

в цилиндрических координатах : 

,

Ковариантная производная от контравариантных компонент вектора  в произвольной системе криволинейных координат η^k с базисными векторами э_k:

,

Ковариантная производная от контравариантных компонент вектора :

,

Основные обозначения: g_ij (i, j = 1, 2, 3) — компоненты метрического тензора; 

в декартовой системе координат: g₁₁ = g₂₂ = g₃₃ = 1, g_ij = 0 при i ≠ j; 

в сферических координатах: g₁₁ ≡ g_rr = 1, g₂₂ ≡ g_θθ = r², g₃₃ ≡ g_ϕϕ = r² sin²θ, g_ij = 0 при i ≠ j; 

в цилиндрических координатах: g₁₁ ≡ g_ρρ = 1, g₂₂ ≡ g_ϕϕ = ρ², g₃₃ ≡ g_zz = 1 , g_ij = 0 при i ≠ j.

Свойства ковариантной производной:

,

Формулы для вычисления символов Кристоффеля по компонентам метрического тензора:

,

в ортогональной системе координат (g_ij = 0 при i ≠ j):

,

Формулы для символов Кристоффеля в цилиндрической и сферической системах координат:

Символы, не приведенные в таблице, тождественно равны нулю.

Связь ковариантной производной с градиентом, дивергенцией и ротором:

для скалярной функции ϕ: ∇i ϕ = grad ϕ;

для векторной функции w: ∇i wi = div w;

для векторной функции w (u = rot w): ,  образуют круговую перестановку из чисел 1, 2, 3; .

Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика - формулы, шпаргалки.