Подробно проанализируем преобразование квадратного трехчлена ax2+ bx + c нижеследующим методом.

Первоначально вынесем за скобки коэффициент при x2:

 

ax2+ bx + c= а (x2 + b/a x + c/a).

 

Далее выражение b/a x отобразим в виде 2• b/2a • х (удвоенное произведение числа b/2a на число х):

 

а (x2 + b/a x + c/a) = а (x2 + 2• b/2a •х + c/a).

 

К выражению, расположенному в скобках, добавим и вычтем из него число b2/4a2, выражающее квадрат числа b/2a. В результате проведенных изменений первоначальное выражение примет вид:

 

Выделение из квадратного трехчлена полного квадрата.

 

Преобразование квадратного трехчлена к виду (1) принято называть выделением полного квадрата.

 Практически применим это преобразование на отдельных примерах:

 

1) -2x2 - 4x + 5 = - 2(x2+ 2х-5/2) =

= -2 [(x2+ 2•х • 1 +1 ) -1 - 5/2] = -2[(х+1)2-7/2] = -2 (х+1)2 + 7.

 

2) 1/3 x2  - 5x + 7 =1/3 (x2- 15x+ 21) =1/3[(x2-2•15/2•х+225/4) - 225/4+21] =

= 1/3[( x- 15/2)2 - 141/4] = 1/3 ( x- 15/2)2- 47/4.