Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

 

Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.

 

Определение ряда Тейлора.

Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:

 

Описание: sum_{k=0}^infty {f^{(k)} (a) over k!} (x - a)^k

 

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.

 

Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x - a типа:

 

 

Свойства ряда Тейлора.

Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:

 

Описание: f(x)=left{egin{matrix}0,&  x=0e^{-frac{1}{x^2}} &  x
ot=0end{matrix}
ight.,   a=0.

 

У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.

 

Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

 

Описание: http://www.math24.ru/images/10ser1.gif

 

где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяют так:

 

Описание: http://www.math24.ru/images/10ser2.gif

 

Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. Описание: http://www.math24.ru/images/10ser3.gif, значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.

 

Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:

 

Описание: http://www.math24.ru/images/10ser4.gif

 

Ряды Маклорена некоторых функций.

1. Экспонента: Описание: mathrm{e}^{x} = 1 + frac{x}{1!} + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{x^n}{n!}, xinmathbb{C},

 

2. Натуральный логарифм:

Описание: ln(1+x) = x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} - cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} =  sum^{infin}_{n=1} frac{(- 1)^{n-1}x^n}{n},

 

3. Биномиальное разложение: Описание: (1+x)^alpha  = 1+sum^{infin}_{n=1} {alpha choose n} x^n,для всех  |x|<1 и всех комплексных α, где:

Описание: {alphachoose n} = prod_{k=1}^n frac{alpha-k+1}k = frac{alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)}{n!}!,

 

  • Квадратный корень:

Описание: sqrt{1+x} = 1 + frac{x}{2} - frac{x^2}{8} + frac{x^3}{16} - cdots = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n, для всех |x|<1,

 

  • Описание: frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + cdots = sum^{infin}_{n=0} x^n, для всех |x|<1,

 

  • Конечный геометрический ряд: Описание: frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = sum^{m}_{n=0} x^n,  для всех Описание:  x 
ot = 1, minmathbb{N}_0!,

 

4. Тригонометрические функции:

  • Синус: Описание: sin x =  x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}, xinmathbb{C},

 

  • Косинус: Описание: cos x =  1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}, xinmathbb{C},

 

  • Тангенс: Описание: operatorname{tg} x =  x + frac{x^3}{3} + frac{2 x^5}{15} + cdots = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}, для всех Описание:  left| x 
ight| < frac{pi}{2}, где Описание: B_{2n} — Числа Бернулли,

 

  • Секанс: Описание: sec x = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} для всех Описание:  left| x 
ight| < frac{pi}{2}, где Описание: B_{2n} — числа Эйлера,

 

  • Арксинус: Описание: arcsin x = x + frac{x^3}{6} + frac{3x^5}{40} + cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для всех |x|<1,

 

  • Арккосинус: Описание: arccos x ={piover 2}-arcsin x={piover 2}- sum^{infin}_{n=0} frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для всех |x|<1,

 

  • Арктангенс: Описание: operatorname{arctg} x = x - frac{x^3}{3}+ frac{x^5}{5} - cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} для всех |x|<1,

 

5. Гиперболические функции:

  • Описание: operatorname{sh}, left(x
ight) = x + frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} + cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, xinmathbb{C},

 

  • Описание: operatorname{ch}, left(x
ight) = 1 + frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} + cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{(2n)!} x^{2n}, xinmathbb{C},

 

  • Описание: operatorname{th},left(x
ight) = x - frac{x^3}{3} + frac{2 x^5}{15} - cdots = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} для всех Описание:  left| x 
ight| < frac{pi}{2},,

 

  • Описание: operatorname{th},left(x
ight) = x - frac{x^3}{3} + frac{2 x^5}{15} - cdots = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} для всех |x|<1,

 

  • Описание: operatorname{arth}, left(x
ight) = x + frac{x^3}{3} + frac{x^5}{5} + cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{2n+1} x^{2n+1} для всех |x|<1,

 

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций.

Описание: Таблица разложения элементарных функций в ряд Маклорена