Решение дифференциальных уравнений. Общая информация.

Решение дифференциальных уравнений. Когда производные от элементарных функций выражают через элементарные функции, то выражать интеграл через элементарные функции не всегда получается. В результате решения дифференциальных уравнений можно получить:

• очевидную зависимость функции от переменной.

Решение дифференциального уравнения – это такая функция  y(x), которая определена и некоторое количество раз дифференцируется в некоторой области, при подстановке этой функции в исходное уравнение получают тождество.

• неочевидную зависимость как уравнения типа Ф (y,x)=0 либо системы уравнений.

Интеграл дифференциального уравнения – это решение дифференциального уравнения, имеющего неявный вид.

• зависимость, выраженная через элементарные функции и интегралы от них.

Решение дифференциального уравнения в квадратурах – это определение решения как комбинация элементарных функций и интегралов от этих функций.

• решение может не выражаться через элементарные функции.

Т.к. решение дифференциальных уравнений сводится к нахождению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n. Число постоянных равняется порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения – это соотношение вида y = y(x,C₁,C_2,C₃,...C_n), которое зависит от n произвольных постоянных.

Общий интеграл дифференциального уравнения – это общее решение, имеющее неявный вид Ф(x,y,C₁,C_2,C₃,...C_n) = 0.

Частное решение дифференциального уравнения – это общее решение при заданных значениях постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n.

Частный интеграл дифференциального уравнения – это общий интеграл при заданных значениях постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n.

Общее решение дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения — функция самого большого общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида:

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

где  — конкретные числа, то функция вида:

при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант)  является общим решением дифференциального уравнения.