Вырабатываемая мощность цепи переменного тока обладает свойством постоянно изменяться. Но при разделении периода такого тока и напряжения на маленькие временные промежутки величина тока и напряжения могут быть приняты как константы в данных временных промежутках. За каждый такой промежуток, который мы обозначим Δt, вырабатывается энергия, которая равна по величине средней величине тока, умноженной на среднюю величину напряжения, само собой, за данный промежуток времени:

 

Δw = i u Δt.

 

Вообще говоря, ток и напряжение в цепи можно сместить по отношению друг к другу по фазе на произвольный угол, который мы назовем φ (рис. 1, а).

 

Мощность переменного тока

Рис. 1. Мощность переменного тока.

 

а - ток и напряжение смещены по фазе на угол φ;

б - ток и напряжение смещены по фазе на угол, равный 90°.

 

Будем считать началом временного отсчета момент, в который напряжение меняет свои значения с отрицательных на положительные. Тогда в момент, когда время равно нулю:

 

u = Um sinωt;

i = Im sin(ωt - φ).

 

За маленький временной промежуток Δt в цепи выделится следующая энергия:

 

ΔW = ImUm sinωt • sin(ωt-φ) • Δt.

 

Тогда, если мы применим формулу из тригонометрии:

 

2 sinα • sinβ = cos(α - β) - cos(α + β),

 

то у нас получится:

 

ΔW = UmIm/2 cosφ • Δt - UmIm/2 cos(2ωt - φ) • Δt.

 

За один период переменного тока будет выработана энергия, которая складывается из энергий, которые были выработаны за все маленькие промежутки времени, которые составляют период:

 

W = ΣUmIm/2 cosφ • Δt - ΣUmIm/2 cos(2ωt - φ) • Δt.

 

Так как величины, которые перемножаются в первом члене разности, константы, а во втором члене косинус в течение одной половины периода положителен, а вторую часть – отрицателен при тех же численных значениях, что в итоге дает ноль:

 

W = UmIm/2T cosφ.

 

За один период средняя активная мощность цепи переменного тока равна:

 

Pa = W/T = 1/2ImUm cosφ.

 

В случае, когда ток и напряжение одинаковы по фазе, как если бы ток проходил через активное сопротивление:

 

Pa = 1/2ImUm = Im/√2 • Um/√2.

 

Отсюда видно, что активная мощность цепи переменного тока равна мощности, которую вырабатывает постоянный ток, но только если его величина и величина напряжения будут меньше в √2 раз, чем амплитуда переменного. Такие значения переменного тока I и напряжения U называются действующими, или эффективными:

 

I = Im/√2; U = Um/√2.

 

Так как в данной ситуации Um = Im•r, формула средней мощности цепи может быть выражена следующим образом:

 

Pa = P = 1/2Im2•r = 1/2 • Um2/r.

 

Если взять конкретные амплитуды тока и напряжения, то вырабатываемая мощность цепи будет обратно зависеть от угла между их сдвигом фаз. Когда он равен 90° (рис. 1, б), а это аналогично цепям с реактивными элементами - идеальными конденсаторами и катушками индуктивности, работающими без потерь, средняя мощность цепи за один период будет равна нулю, потому что 25% периода будет предназначено для накопления энергии, а еще 25% - ее трате.

Условно отдаваемую и получаемую источником переменной э. д. с. мощность цепи называют реактивной, Рр. Если при этом будет происходить обмен энергией с реактивной нагрузкой (амплитуды тока и напряжения, умноженные на нагрузку на синус угла φ между ними и деленные пополам):

 

Pp = 1/2 ImUm sinφ.

 

Примем во внимание, что напряжение на идеальной реактивной нагрузке Um = Im•X. Тогда:

 

Pp = 1/2 Im2X;

Pp = 1/2 Um2/X.

 

Довольно распространен случай, когда на каком-то участке цепи существует переменное напряжение u = Um cosωt. Если через участок течет постоянный ток и токи различных частот, кратных ω, тогда:

 

i = I0 + I1 cosωt + I2 cos2ωt + I3 cos3ωt + …

 

Но какой энергетический эффект будет, если данные токи будут взаимодействовать с напряжением круговой частоты ω?

Ясно, что за один период средняя мощность взаимодействия постоянного тока с переменным напряжением равняется нулю. Первую половину периода она принимает положительные значения, так как источник расходует энергию, а вторую половину – отрицательные, так как источник получает ту же энергию обратно. Труднее понять, как происходит взаимодействие напряжения круговой частоты ω с токами кратных частот n•ω.

Чтобы вычислить среднюю за один период мощность напряжения T, необходимо, как и в прежних случаях, разделить период на маленькие временные участки Δt, на протяжении которых ток и напряжения можно принять за константы. Тогда мощность, достигнутая за такой промежуток, равна

 

pi = i(t) • u(t).

 

Для вычисления средней мощности цепи за промежуток времени T, надо посчитать произведение всех pi на временные промежутки Δt, сложить их, а потом разделить на период T. В нашем случае будут суммироваться произведения вида

 

ΣUmIm cosωt • cosnωt • Δt = UmImΔt Σ cosωt • cosnωt.

 

Ясно, что все такие суммы равняются нулю. На рис. 2 показаны напряжение и ток в ситуации, когда ток по частоте в два раза больше, чем напряжение (n = 2), и приведен график произведений их мгновенных значений. Если посмотреть на график произведений мгновенных значений внимательно, станет ясно, что мгновенная мощность цепи тоже изменяется во времени с определенным периодом и за время T два раза переходит от положительных к таким же, но отрицательным значениям. Так что средняя мощность цепи за временной интервал T будет равняться нулю. Ясно, что при всяком сочетании кратных частот будет наблюдаться та же картина. 

 

Мощность взаимодействия тока и напряжения кратных частот

Рис. 2. Мощность взаимодействия тока и напряжения кратных частот.

 

Основываясь на информации, которая была изложена в данном параграфе, можно сделать следующий вывод: если в цепи источника переменного напряжения протекают постоянный ток и переменные токи кратных частот, то энергетическое взаимодействие происходит только с током, частота которого равна частоте источника напряжения; источник постоянного напряжения дает эффект энергетического взаимодействия только с постоянной составляющей проходящего через него тока.