Квадратные уравнения. Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе

надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде - первый этап делать не нужно.  Самое главное - правильно 

определить все коэффициенты, а, b и c.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения.

Выражение под знаком корня называется дискриминант. Как видим, для нахождения икса, мы

используем только a, b и с. Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем

значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! 

Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4.

Подставляем значения и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками  значений  a, b и с.  Вернее, с подстановкой

отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы

с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте!

Предположим, надо вот такой пример решить:

Здесь            a = -6; b = -5; c = -1

Расписываем все подробно, внимательно, ничего не упуская со всеми знаками и скобками:

Часто квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Или так:

Это неполные квадратные уравнения.

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок.

Приём первый. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

Что это означает?

Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.

Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

Избавьтесь от минуса. Как? Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример.

Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета.

Для решения приведённых квадратных уравнений, т.е. если коэффициент 

a = 1:

x²+bx+c=0,

тогда         x₁x₂=c

                   x₁+x₂=−b

Для полного квадратного уравнения, в котором  a≠1:

x²+bx+c=0,  

делим все уравнение на а:

  →    →

где x¹ и x² – корни уравнения.

Приём третий. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты,  -  избавьтесь от дробей! Домножьте

уравнение на общий знаменатель.

Вывод. Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно.

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего

уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий

множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по

теореме Виета.