Возвратное кубическое уравнение - это уравнение типа ax 3+b x 2+bx+a =0, где a и b - коэффициенты.
Выполним преобразования:
ax 3 + b x 2 + bx + a = a (x 3 + 1) + b(x2 + x) = a (x + 1) (x2 – x + 1) + bx (x + 1) = (x + 1) (ax2 + x (b - a) + a).
Можно заметить, что при x = -1 уравнение обращается в тождество, и следовательно, это значение является корнем такого уравнения.
Корни полученного квадратного трехчлена ax2 + x(b-a) +a вычисляются с использованием дискриминанта.
Проанализируем решение возвратного уравнения 5x 3-8 x 2-8x+5 =0.
Выполним группировку:
5x 3 - 8 x2 - 8x + 5 = 5 (x3 + 1) – 8 (x2 + x) = 5 (x + 1) (x2 – x + 1) + 8x (x + 1) = (x + 1) (5x2 - 5x + 5 - 8х) = (x + 1) (5x2 - 13x + 5) = 0.
х=-1- корень уравнения;
Найдем корни квадратного трехчлена, применив дискриминант:
5x2 - 13x + 5 = 0;
D = (-13)2 – 4*5*5 =69;
;
.
Двучленное кубическое уравнение это уравнение типа ax3+b =0.
Выполнив преобразования, разделив на коэффициент а, отличный от нуля получим уравнения типа x3+b/а =0.
Затем используем формулу сокращенного умножения для суммы кубов:
x3 + b/а = 0;
Из первой скобки получаем , а квадратный трехчлен имеет только комплексные корни.
Применим эту методику на практике для нахождения действительных корней кубического уравнения
Решение:
Используем формулу сокращенного умножения для разности кубов:
Из первой скобки находим , квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен.
Ответ: .