Функция. Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной функции по вспомогательной переменной величине, умноженной на производную этой переменной по аргументу:

Например:

Найти производную сложной функции у =  (по аргументу х).

Полагая  имеем:

Из определения, получаем:

Часто, используя обозначение , появляется ошибка.

Зная, что  результат записывается в виде , при этом упускается из виду тот факт, что необходимо умножить .

Ошибка связана с несовершенством обозначения (не видно, по какой переменной величине берется производная функции).

Поэтому лучше записывать так:

При достаточном навыке промежуточное преобразование выполняется в уме.

Наилучшую гарантию от ошибки дает предварительное вычисление дифференциала .

Например:

Необходимо найти производную сложной функции y = sin²2x.

Решим это задание. Есть цепочка трех зависимостей:

y = u², u = sin ν, ν = 2x.

Аналогично определению () получаем:

.

Учтем, что  найдем,

Чтобы не было ошибки при вычислении необходимо определять функцию следующим образом:

Поделим на dx и получим: