Кликните, чтобы добавить в избранные сервисы.
 
Кликните, чтобы удалить из избранных сервисов.

Системы счисления. Позиционная система счисления двоичная.

В Индии система работает в виде позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы.
    Распечатать

Калькулятор для перевода систем счисления онлайн.

 

Впервые позиционная система счисления возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в виде

позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел

позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы. В Европе эту систему стали

называть арабской.

 

Позиционная система — значение всех цифр зависит от позиции (разряда) данной цифры в числе.

 

Примеры, стандартная 10-я система счисления – это позиционная система. Допустим дано число 453.

Цифра 4 обозначает сотни и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению 50,

а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.

Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

 

Двоичная система счисления.

 

Здесь только 2 цифры – это 0 и 1. Основание двоичной системы - число 2.

 

Цифра, которая находится с самого края справа, указывает количество единиц, вторая цифра -

количество двоек, далее - количество четверок и так далее.

 

Во всех разрядах возможна лишь одна цифра — или нуль, или единица.

 

С помощью двоичной системы счисления возможно закодировать всякое натуральное число, представив

это число в виде последовательности нулей и единиц.

 

Пример:        10112 = 1*23 + 0*2*2+1*21+1*20 =1*8 + 1*2+1=1110

 

Двоичную систему счисления, как и десятичную систему счисления, зачастую используют в вычислительной

технике. Текст и числа компьютер хранит в своей памяти в двоичном коде и программным способом преобразует

в изображение на экране.

 

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.

 

Таблица сложения в двоичной системе счисления:

 

    +    

    0    

1

0

0

1

1

1

10 (перенос в

старший разряд)

 

 

Таблица вычитания в двоичной системе счисления:

 

   -   

0

   1   

0

0

1

1

(заём из старшего

разряда) 1

0

 

 

Пример сложения «столбиком» (1410 + 510 = 1910 или 11102 + 1012 = 100112):

 

 
+   1 1 1 0
    1 0 1
  1 0 0 1 1

 

 

Таблица умножения в двоичной системе счисления:

 

   ×   

   0   

   1   

0

0

0

1

0

1

 
 

Пример умножения «столбиком» (1410 * 510 = 7010  или 11102 * 1012 = 10001102):

 

*       1 1 1 0
        1 0 1
+       1 1 1 0
    1 1 1 0  
= 1 0 0 0 1 1 0

 

Преобразование чисел в двоичной системе счисления.

 

Для преобразования из двоичной системы в десятичную пользуются следующей таблицей степеней

основания 2:

 

 512 

 256 

 128 

 64 

 32 

 16 

   8  

  4  

  2  

  1  

 

 

Начиная с цифры один каждая цифра умножается на 2. Точка, стоящая после 1, называют двоичной точкой.

 

Преобразование двоичных чисел в десятичные.

 

Пусть, есть двоичное число 1100012. Для перевода в десятичное записываем его в виде суммы по

разрядам следующим образом:

 

1 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 49

 

Немного по другому:

 

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

 

Также хорошо записывать расчет как таблицу:

 

 512 

 256 

 128 

  64  

  32  

  16  

   8   

   4   

   2   

   1   

       

1

1

0

0

0

1

       

+32

+16

+0

+0

+0

+1

 

 

Двигаемся справа налево. Под всеми двоичными единицами записываем её эквивалент строчкой ниже.

Далее складываем десятичные числа, которые мы получили. Т.о., двоичное число 1100012 = десятичному 4910.

 

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные.

 

Задание: перевести число 1011010, 1012 в десятичную систему.

 

Записываем заданное число в таком виде:

 

1*26 +0*25 +1*24 +1*23+0 *22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2-1 + 0 * 2-2 + 1 * 2-3 = 90,625

 

Другой вариант записи:

 

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

 

Либо в виде таблицы:

 

  64  

  32  

  16  

   8   

   4   

   2   

   1   

  0.5  

 0.25 

0.125

1

0

1

1

0

1

0.

.1

0

1

+64

+0

+16

+8

+0

+2

+0

+0.5

+0

+0.125

 

 

Преобразование десятичных чисел в двоичные.

 

Пусть, необходимо перевести число 19 в двоичное. Можем сдеать это таким образом:

 

19 /2 = 9 с остатком 1

9 /2 = 4 c остатком 1

4 /2 = 2 без остатка 0

2 /2 = 1 без остатка 0

1 /2 = 0 с остатком 1

 

То есть, каждое частное делится на 2 и записывается остаток в конец двоичной записи. Деление

продолжается до того момента, когда в частном не будет нуля. Итог пишем справа налево. Т.е. нижняя

цифра (1) будет крайней левой и так далее. Итак, у нас получилось число 19 в двоичной записи: 10011.

 

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные.

 

Когда в заданном числе присутствует целая часть, то ее преобразуют отдельно от дробной. Перевод

дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную происходит следующим образом:

 

  • Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
  • В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего

разряда числа в двоичной системе счисления;

  • Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если

достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над

дробной частью произведения.

 

Пример: Нужно перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

 

Переведя целую часть, получаем 20610=110011102. Дробная часть 0,116 умножается на основание 2,

заносим целые части произведения в разряды после запятой:

 

0,116 • 2 = 0,232

0,232 • 2 = 0,464

0,464 • 2 = 0,928

0,928 • 2 = 1,856

0,856 • 2 = 1,712

0,712 • 2 = 1,424

0,424 • 2 = 0,848

0,848 • 2 = 1,696

0,696 • 2 = 1,392

0,392 • 2 = 0,784

 

и так далее. Т.о. 0,11610 ≈ 0,00011101102

 

Результат: 206,11610 ≈ 11001110,00011101102

 

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую.

 

     1. Из десятичной системы счисления:

 

  • делим число на основание переводимой системы счисления;
  • находим остаток от деления целой части числа;
  • записываем все остатки от деления в обратном порядке;

 

     2. Из двоичной системы счисления:

 

  • для перевода в десятичную систему счисления находим сумму произведений основания 2 на

соответствующую степень разряда;

 

Например, 1000110 = 1 000 110 = 1068

 

группы по 4 разряда.

 

Например, 1000110 = 100 0110 = 4616.

 

Таблицы для перевода:

 

Двоичная СС

Шестнадцатеричная СС

0000

0

0001

1

0010

2

0011

3

0100

4

0101

5

0110

6

0111

7

1000

8

1001

9

1010

A

1011

B

1100

C

1101

D

1110

E

1111

F

Двоичная СС

Восьмеричная СС

000

0

001

1

010

2

011

3

100

4

101

5

110

6

111

7

 

Также существуют другие позиционные системы, о которых мы поговорим в других статьях:

Десятичная система счисления. Двоичная система счисления. Восьмеричная система счисления. Шестнадцатеричная система счисления. Системы счисления. Основные понятия.