Некоторые формулы векторного анализа.
Градиент скалярной функции f(r):

в декартовой системе координат xyz: ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

в сферических координатах ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

в цилиндрических координатах ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

Дивергенция векторной функции F:

в декартовой системе координат xyz: ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

в сферических координатах ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

где ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа — физические компоненты вектора F;

в цилиндрических координатах ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа, где ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа — физические компоненты вектора F в сферических координатах ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа.

Ротор векторной функции F:

в декартовой системе координат xyz:

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

в сферических координатах ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа:

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

в цилиндрических координатах ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа:

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

Простейшие формулы вычисления градиента, дивергенции и ротора (C — постоянная, c — постоянный вектор):

 

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа.

 

Оператор Лапласа от скалярной функции f:

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа.

 

Оператор Лапласа в декартовой системе координат xyz:

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа.

 

в сферических координатах ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

в цилиндрических координатах ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа: 

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

Ковариантная производная от контравариантных компонент вектора ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа в произвольной системе криволинейных координат ηk с базисными векторами эk:

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

Ковариантная производная от контравариантных компонент вектора ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа:

 

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

Основные обозначения: gij (ij = 1, 2, 3) — компоненты метрического тензора; 

в декартовой системе координат: g11 = g22 = g33 = 1, gij = 0 при i ≠ j

в сферических координатах: g11 ≡ grr = 1, g22 ≡ gθθ = r2, g33 ≡ gϕϕ = r2 sin2θ, gij = 0 при i ≠ j

в цилиндрических координатах: g11 ≡ gρρ = 1, g22 ≡ gϕϕ = ρ2, g33 ≡ gzz = 1 , gij = 0 при i ≠ j.

 

Свойства ковариантной производной:

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

Формулы для вычисления символов Кристоффеля по компонентам метрического тензора:

 

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

в ортогональной системе координат (gij = 0 при i ≠ j):

 

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа,

 

Формулы для символов Кристоффеля в цилиндрической и сферической системах координат:

ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа

Символы, не приведенные в таблице, тождественно равны нулю.

Связь ковариантной производной с градиентом, дивергенцией и ротором:

для скалярной функции ϕ: ∇i ϕ = grad ϕ;

для векторной функции w: ∇i wi = div w;

для векторной функции w (u = rot w)ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализаЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа образуют круговую перестановку из чисел 1, 2, 3ЕГЭ формулы шпаргалки  формулы векторного анализа.

 

Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика - формулы, шпаргалки.