Уравнение считаются однородным относительно sin и cos, когда все его члены одинаковой степени относительно sin и cos и одинакового угла.

Рассмотрим несколько примеров однородных тригонометрических уравнений:

 

sin х — cos х = 0,

sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0,

cos2 х — sin х cos х = 0.

 

К примеру, у членов первого уравнения общая степень 1, а у членов других двух уравнений — общая степень 2

Для решения подобных уравнений требуется:

- переместить все его компоненты в левую часть;

- переместить общие множители за скобки;

- приравнять все множители и скобки к нулю;

- скобки, равные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое необходимо поделить на cos ( или sin ) в большей степени;

- найти корни образовавшегося уравнения относительно tg ( или ctg)..

 

Найдем корни уравнения sin х — cos х = 0.

В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin2 х +cos2 х = 1. Значит, в этом выражении cos х ≠ 0.

Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cos2х. Тогда получим tg x - 1 = 0, далее:

 

tg x = 1, х = π/4 + 2nπ.

 

Сходным образом решаем и уравнение sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0.

Поделим обе части этого выражения на cos2 х:

tg2 х — 5 tg х + 6 = 0;

(tgx)1= 2;  (tg x)2 = 3.

И следовательно,

x = arctg 2 + nπ  х = arctg 3 + kπ .

Вычислим корни уравнения cos2 х — sin х cos х = 0.

 

В этом случае тождество cos х = 0 допустимо, и следовательно, поделить обе части выражения на cos2х невозможно. Однако, возможно, что sin х ≠ 0. В противоположном случае из выражения получалось бы, что cosх = 0. Но тогда не осуществилось бы равенство sin2 х +cos2 х = 1. Итак, sin х ≠ 0. Значит обе части данного выражения возможно поделить на sin2х.

После проведения преобразований имеем:

 

ctg2 х — ctg х = 0,

 

далее (ctg х)1 = 0; (ctg х)2 = 1.

Согласно этому формируются две группы корней:

х = π/2 + nπ  и  х=π/4 + kπ.

 

Некоторые тригонометрические уравнения, не будучи однородными, просто преобразуются в однородные.

Так, когда в уравнении:

 

sin х cos x = 0,5

 

представим 0,5 как 0,5 (sin2 х +cos2 х), и получим однородное уравнение sin х cos x = 0,5 sin2 х + 0,5 cos2 х.