Уравнение считаются однородным относительно sin и cos, когда все его члены одинаковой степени относительно sin и cos и одинакового угла.
Рассмотрим несколько примеров однородных тригонометрических уравнений:
sin х — cos х = 0,
sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0,
cos2 х — sin х cos х = 0.
К примеру, у членов первого уравнения общая степень 1, а у членов других двух уравнений — общая степень 2
Для решения подобных уравнений требуется:
- переместить все его компоненты в левую часть;
- переместить общие множители за скобки;
- приравнять все множители и скобки к нулю;
- скобки, равные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое необходимо поделить на cos ( или sin ) в большей степени;
- найти корни образовавшегося уравнения относительно tg ( или ctg)..
Найдем корни уравнения sin х — cos х = 0.
В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin2 х +cos2 х = 1. Значит, в этом выражении cos х ≠ 0.
Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cos2х. Тогда получим tg x - 1 = 0, далее:
tg x = 1, х = π/4 + 2nπ.
Сходным образом решаем и уравнение sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0.
Поделим обе части этого выражения на cos2 х:
tg2 х — 5 tg х + 6 = 0;
(tgx)1= 2; (tg x)2 = 3.
И следовательно,
x = arctg 2 + nπ х = arctg 3 + kπ .
Вычислим корни уравнения cos2 х — sin х cos х = 0.
В этом случае тождество cos х = 0 допустимо, и следовательно, поделить обе части выражения на cos2х невозможно. Однако, возможно, что sin х ≠ 0. В противоположном случае из выражения получалось бы, что cosх = 0. Но тогда не осуществилось бы равенство sin2 х +cos2 х = 1. Итак, sin х ≠ 0. Значит обе части данного выражения возможно поделить на sin2х.
После проведения преобразований имеем:
ctg2 х — ctg х = 0,
далее (ctg х)1 = 0; (ctg х)2 = 1.
Согласно этому формируются две группы корней:
х = π/2 + nπ и х=π/4 + kπ.
Некоторые тригонометрические уравнения, не будучи однородными, просто преобразуются в однородные.
Так, когда в уравнении:
sin х cos x = 0,5
представим 0,5 как 0,5 (sin2 х +cos2 х), и получим однородное уравнение sin х cos x = 0,5 sin2 х + 0,5 cos2 х.