Формулы Виета — это формулы, которые выражают коэффициенты многочлена через его корни.

Эти формулы хорошо использовать для сверки правильности определения корней многочлена. Еще их

используют для выведения многочлена из заданных корней.

С помощью теоремы Виета решаются квадратные уравнения.

 

Если наибольший коэффициент многочлена Теорема Виета, т.е. многочлен не приведенный, значит, для

использования формулы Виета нужно сначала поделить все коэффициенты на Теорема Виета  (это не сказывается на

значении корней многочлена). В таком случае формулы Виета дают выражение для отношений всех

коэффициентов к наибольшему.

 

Формулировка теоремы Виета для квадратного трехчлена.

 

Для приведенного квадратного уравнения (такого, коэффициент при x2 в котором = 1): сумма корней

приведённого квадратного уравнения  Теорема Виета  равна коэффициенту Теорема Виета со знаком «-», а

произведение корней = свободному члену Теорема Виета.

 

Теорема Виета

 

В общем случае – для не приведённого квадратного уравнения:

 

Теорема Виета

Теорема Виета

 

Пользуясь этой теоремой, легко находить корни некоторых квадратных уравнений в уме.

 

Смысл теоремы Виета состоит в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, запросто можно вычислить

их сумму и произведение –  простейшие симметричные многочлены от двух переменных Теорема Виета  и Теорема Виета.

Теорема Виета дает угадывать целые корни квадратного трехчлена.

 

Обратная теорема Виета.

 

Теорема:

Если числа Теорема Виета и Теорема Виета  удовлетворяют соотношениям  Теорема Виета, то они удовлетворяют

квадратному уравнению  Теорема Виета, то есть являются его корнями.

 

Пример:

Даны числа Теорема Виета и Теорема Виета - корни некоторого квадратного уравнения. Необходимо составить

квадратное уравнение.

 

Решение:

Предположим наше квадратное уравнение выглядит так:

 

Теорема Виета

 

Значит, согласно теореме Виета, его коэффициенты связаны с корнями таким соотношениями:

 

Теорема Виета

 

Из этого следует:

Теорема Виета

Теорема Виета

 

Таким образом квадратное уравнение:

Теорема Виета

 

Ответ: Теорема Виета

 

 

Общая формулировка теоремы Виета.

 

Если Теорема Виета - корни многочлена Теорема Виета (все корни взяты

соответствующее их кратности количество раз), то коэффициенты Теорема Виета выражают в виде

симметрических многочленов от корней, как показано ниже:

 

Теорема Виета

Теорема Виета

Теорема Виета

Теорема Виета

Теорема Виета

Теорема Виета

 

Другими словами, произведение Теорема Виета соответствует сумме всех возможных произведений из Теорема Виета корней.