Метод прогонки (алгоритм Томаса) используют для решения СЛУ типа  Ax=F, где Aтрёхдиагональная матрица. Это вариант метода последовательного исключения неизвестных.

 

Система уравнений  Ax=F равноценна соотношению:

 

Aixi−1+Cixi+Bixi+1=Fi

 

Метод прогонки базируется на предположении, что неизвестные, которые необходимо найти, связаны соотношением:

 

xi=αi+1xi+1+βi+1, где  i=n−1,n−2,…,1.                       (2)

 

Выразим xi-1 и xi через xi+1, подставим в уравнение, используя это соотношение, (1):

 

(Aiαiαi+1+Ciαi+1+Bi)xi+1+Aiαiβi+1+Aiβi+Ciβi+1−Fi=0,

 

где Fi — правая часть i-го уравнения.

Это соотношение выполняется не завися от решения, если потребовать:

 

Решение систем линейных уравнений. Метод прогонки.,

 

Далее:

Решение систем линейных уравнений. Метод прогонки.,

 

Получаем из 1-го уравнения:

Решение систем линейных уравнений. Метод прогонки..

 

После того, как нашли прогоночные коэффициенты α и β, используем уравнение (2) и получим решение системы. Причем,

 

Решение систем линейных уравнений. Метод прогонки..

 

Еще одним вариантом объяснения смысла метода прогонки является такой вариант: преобразуем уравнение (1) к равнозначному ему уравнению:

 

A′x=F′                       (1′)

 

c надиагональной (наддиагональной) матрицей:

 

Решение систем линейных уравнений. Метод прогонки.

 

Рассчеты проводим в 2 этапа. На 1-ом этапе вычисляем компоненты матрицы  C′i и вектора  F′, начиная с  i=2 до  i=n:

 

C′1=C1;

Решение систем линейных уравнений. Метод прогонки.

и

Решение систем линейных уравнений. Метод прогонки.

 

На 2-ом этапе, для i=n,n−1,…,1 вычисляем решение:

 

Решение систем линейных уравнений. Метод прогонки.

 

Для применимости формул метода прогонки достаточно свойства строгого диагонального преобладания у матрицы A.