Метод прогонки (алгоритм Томаса) используют для решения СЛУ типа Ax=F, где A — трёхдиагональная матрица. Это вариант метода последовательного исключения неизвестных.
Система уравнений Ax=F равноценна соотношению:
Aixi−1+Cixi+Bixi+1=Fi
Метод прогонки базируется на предположении, что неизвестные, которые необходимо найти, связаны соотношением:
xi=αi+1xi+1+βi+1, где i=n−1,n−2,…,1. (2)
Выразим xi-1 и xi через xi+1, подставим в уравнение, используя это соотношение, (1):
(Aiαiαi+1+Ciαi+1+Bi)xi+1+Aiαiβi+1+Aiβi+Ciβi+1−Fi=0,
где Fi — правая часть i-го уравнения.
Это соотношение выполняется не завися от решения, если потребовать:
,
Далее:
,
Получаем из 1-го уравнения:
.
После того, как нашли прогоночные коэффициенты α и β, используем уравнение (2) и получим решение системы. Причем,
.
Еще одним вариантом объяснения смысла метода прогонки является такой вариант: преобразуем уравнение (1) к равнозначному ему уравнению:
A′x=F′ (1′)
c надиагональной (наддиагональной) матрицей:
Рассчеты проводим в 2 этапа. На 1-ом этапе вычисляем компоненты матрицы C′i и вектора F′, начиная с i=2 до i=n:
C′1=C1;
и
На 2-ом этапе, для i=n,n−1,…,1 вычисляем решение:
Для применимости формул метода прогонки достаточно свойства строгого диагонального преобладания у матрицы A.