Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля.
Координаты точек поверхности: x, y, z, x1, y1, z1, ... Действительные числа: A, B, C, ..., a, b, c, k1, k2, k3 Инварианты поверхности: e, E, Δ Радиус сферы: R Координаты центра сферы: (a, b, c)
Общее уравнение поверхности второго порядка.
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Fyz + 2Gzx + 2Hxy + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,
где x, y, z − координаты точек поверхности, A, B, C, ... − действительные числа.
Классификация поверхностей второго порядка.
Данная классификация основана на рассмотрении инвариантов поверхностей второго порядка. Инварианты представляют собой специальные выражения, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при параллельном переносе или повороте системы координат. Всего можно выделить 17 различных канонических видов поверхностей. |
# |
Ранг (e) |
Ранг (E) |
Δ |
Знаки k |
Вид поверхности |
1 |
3 |
4 |
< 0 |
Одинаковые |
|
2 |
3 |
4 |
> 0 |
Одинаковые |
|
3 |
3 |
4 |
> 0 |
Разные |
|
4 |
3 |
4 |
< 0 |
Разные |
|
5 |
3 |
3 |
Разные |
||
6 |
3 |
3 |
Одинаковые |
||
7 |
2 |
4 |
< 0 |
Одинаковые |
|
8 |
2 |
4 |
> 0 |
Разные |
|
9 |
2 |
3 |
Одинаковые |
||
10 |
2 |
3 |
Одинаковые |
||
11 |
2 |
3 |
Разные |
||
12 |
2 |
2 |
Разные |
Пересекающиеся плоскости |
|
13 |
2 |
2 |
Одинаковые |
Мнимые пересекающиеся плоскости |
|
14 |
1 |
3 |
|||
15 |
1 |
2 |
Параллельные плоскости |
||
16 |
1 |
2 |
Мнимые параллельные плоскости |
||
17 |
1 |
1 |
Совпадающие плоскости |
В качестве инвариантов используются ранги матриц e и E, определитель матрицы E и знаки корней характеристического уравнения для матрицы e. Указанные матрицы имеют вид:
а корни k1, k2, k3 находятся из решения уравнения:
Некоторые типы поверхностей второго порядка.
Центральные поверхности:
Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты (x0, y0, z0) можно найти, решив систему уравнений:
Параллельные плоскости:
Мнимые параллельные плоскости:
Совпадающие плоскости:
|