Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные

координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

 

Поверхности второго порядка. Общая информация.

 

в котором по крайней мере один из коэффициентов Поверхности второго порядка. Общая информация., Поверхности второго порядка. Общая информация., Поверхности второго порядка. Общая информация., Поверхности второго порядка. Общая информация., Поверхности второго порядка. Общая информация., Поверхности второго порядка. Общая информация. отличен от нуля.

 

Координаты точек поверхности: x, y, z, x1, y1, z1, ...

Действительные числа: A, B, C, ..., a, b, c, k1, k2, k3

Инварианты поверхности: e, E, Δ

Радиус сферы: R

Координаты центра сферы: (a, b, c)

 

Общее уравнение поверхности второго порядка.

 

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Fyz + 2Gzx + 2Hxy + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,

 

где x, y, z − координаты точек поверхности,

A, B, C, ... − действительные числа.

 

Классификация поверхностей второго порядка.

 

Данная классификация основана на рассмотрении инвариантов поверхностей второго порядка.

Инварианты представляют собой специальные выражения, составленные из коэффициентов общего

уравнения, которые не меняются при параллельном переносе или повороте системы координат. Всего

можно выделить 17 различных канонических видов поверхностей.

 

#

Ранг (e)

Ранг (E)

Δ

Знаки k

Вид поверхности

1

3

4

< 0

Одинаковые

Эллипсоид

2

3

4

> 0

Одинаковые

Мнимый эллипсоид

3

3

4

> 0

Разные

Однополостный гиперболоид

4

3

4

< 0

Разные

Двуполостный гиперболоид

5

3

3

 

Разные

Коническая поверхность

6

3

3

 

Одинаковые

Мнимая коническая поверхность

7

2

4

< 0

Одинаковые

Эллиптический параболоид

8

2

4

> 0

Разные

Гиперболический параболоид

9

2

3

 

Одинаковые

Эллиптический цилиндр

10

2

3

 

Одинаковые

Мнимый эллиптический цилиндр

11

2

3

 

Разные

Гиперболический цилиндр

12

2

2

 

Разные

Пересекающиеся плоскости

13

2

2

 

Одинаковые

Мнимые пересекающиеся плоскости

14

1

3

   

Параболический цилиндр

15

1

2

   

Параллельные плоскости

16

1

2

   

Мнимые параллельные плоскости

17

1

1

   

Совпадающие плоскости

 
 

В качестве инвариантов используются ранги матриц e и E, определитель матрицы E и знаки корней

характеристического уравнения для матрицы e. Указанные матрицы имеют вид:

 

Поверхности второго порядка. Общая информация.

 

а корни k1, k2, k3 находятся из решения уравнения:

 

Поверхности второго порядка. Общая информация.

 

Некоторые типы поверхностей второго порядка.

 

Центральные поверхности:

 

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты (x0, y0, z0) можно

найти, решив систему уравнений:

 

Поверхности второго порядка. Общая информация.

 

Параллельные плоскости:

Поверхности второго порядка. Общая информация.

 

Мнимые параллельные плоскости:

 

Поверхности второго порядка. Общая информация.

 

Совпадающие плоскости:

 

Поверхности второго порядка. Общая информация.