Логарифмическими уравнениями называют уравнения, в котором представлены неизвестные величины под знаком логарифма.
Уравнения типа log2x=5 или log3(x-1)=0 –логарифмические.
Логарифмические уравнения, так же как и показательные, относятся к трансцендентным.
Самым простым логарифмическим уравнением представлено уравнение следующее непосредственно из формулировки логарифма:
Logаx=b,
где а и b - заданные числа,
х - неизвестная переменная.
Если а – не отрицательное и не равное единице число, то у такого уравнения существует единственный корень:
х = аb.
При решении более трудных логарифмических уравнений, обыкновенно, приводим их или к решению алгебраических уравнений, или к решению уравнений типа Logаx=b.
Проанализируем это на нескольких отдельных уравнениях.
Найдем корни уравнения:
logx(x2— 3x+ 6) =2.
Отталкиваясь от формулировки логарифма из вышеприведенного уравнения получаем, что:
x2 = x2- 3x+ 6,
решив его имеем х = 2.
Осуществим проверку.
При х = 2
logx(x2-3x+ 6) = log2(4 - 6 + 6) = log2 4 =2.
Следовательно,
х= 2 - решение указанного уравнения.
Ответ, х = 2.
Найдем корни уравнения:
lg (x2 -17) = lg (x+ 3).
Для нахождения ответа аналогичных уравнений применяем нижеследующее свойство логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа.
И соответственно имеем, что если только у данного уравнения есть корни, то они будут удовлетворять уравнению:
x2 - 17 = x + 3,
отсюда получаем
x1= 5, x2=-4.
Осуществим подстановку для проверки при х = 5
lg (x2-17) = lg 8и lg (x+ 3) = lg 8.
Следовательно, х= 5 - корень выбранного уравнения.
При х = -4 левая и правая части данного уравнения не существуют, поскольку x2 - 17= - 1 < 0 и x + 3 = -1 < 0. Из этого делаем вывод, х = -4 не может быть корнем уравнения.
Ответ: х = 5.
Отдельные логарифмические уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям с помощью ввода новой неизвестной величины. Так, к примеру, в уравнении:
log32x - 3log3x - 10 = 0.
Если log3x приравнять к у, то уравнение станет квадратным:
у 2- 3у - 10 = 0,
решив его получим:
y1 = - 2, y2 = 5.
Далее вернемся к у = log3x, получим: если log3x= - 2, то x=1/9; если же log3x=5, то х = 243.
Выполнив проверку видим, что эти две величины будут решением выбранного уравнения.
Ответ. x1=1/9; x2 = 243.
Отдельные уравнения решаются методом почленного логарифмирования. Так же в случае необходимости применяют формулу для перехода от одного основания логарифмов к другому.