Логарифмическими уравнениями называют уравнения, в котором представлены неизвестные величины под знаком логарифма.

Уравнения типа log2x=5 или log3(x-1)=0 –логарифмические.

Логарифмические уравнения, так же как и показательные, относятся к трансцендентным.

Самым простым логарифмическим уравнением представлено уравнение следующее непосредственно из формулировки логарифма:

 

Logаx=b,

 

где а и b - заданные числа,

х - неизвестная переменная.

 

Если а – не отрицательное и не равное единице число, то у такого уравнения существует единственный корень:

 

х = аb.

 

При решении более трудных логарифмических уравнений, обыкновенно, приводим их или к решению алгебраических уравнений, или к решению уравнений типа Logаx=b.

Проанализируем это на нескольких отдельных уравнениях.

Найдем корни уравнения:

 

logx(x2— 3x+ 6) =2.

 

Отталкиваясь от формулировки логарифма из вышеприведенного уравнения получаем, что:

 

x2 = x2- 3x+ 6,

решив его имеем х = 2.

 

Осуществим проверку.

При х = 2

logx(x2-3x+ 6) = log2(4 - 6 + 6) = log4 =2.

Следовательно,

х= 2 - решение указанного уравнения.

Ответ, х = 2.

 

Найдем корни уравнения:

 

lg (x-17) = lg (x+ 3).

 

Для нахождения ответа аналогичных уравнений применяем нижеследующее свойство логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа.

И соответственно имеем, что если только у данного уравнения есть корни, то они будут удовлетворять уравнению:

 

x2 - 17 = x + 3,

 

отсюда получаем

x1= 5, x2=-4.

 

Осуществим подстановку для проверки при х = 5

 

lg (x2-17) = lg 8и lg (x+ 3) = lg 8.

 

Следовательно, х= 5 - корень выбранного уравнения.

При х = -4 левая и правая части данного уравнения не существуют, поскольку x2 - 17= - 1 < 0 и x + 3 = -1 < 0. Из этого делаем вывод, х = -4 не может быть корнем уравнения.

Ответ: х = 5.

 

Отдельные логарифмические уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям с помощью ввода новой неизвестной величины. Так, к примеру, в уравнении:

 

log32x - 3log3x - 10 = 0.

 

Если log3x приравнять к у, то уравнение станет квадратным:

 

у 2- 3у - 10 = 0,

 

решив его получим:

y1 = - 2, y2 = 5.

Далее вернемся к у = log3x, получим: если log3x= - 2, то x=1/9; если же log3x=5, то х = 243.

Выполнив проверку видим, что эти две величины будут решением выбранного уравнения.

Ответ. x1=1/9; x2 = 243.

 

Отдельные уравнения решаются методом почленного логарифмирования. Так же в случае необходимости применяют формулу для перехода от одного основания логарифмов к другому.