Многочлен (полином) - сумма одночленов, являющимися произведениями, которые состоят из числового множителя (коэффициента) и 1-ой либо нескольких букв, каждая из них взята с тем либо другим показателем степени.
В общем виде, многочлен выглядит так:
Pn(x)=аnхn+an-1xn-1+аn-2хn-2+....+а2х2+a1х+а0,
где а0....аn-1, аn - коэффициенты многочлена.
Степень многочлена - высочайший показатель степени в этой сумме с коэффициентом, не равным нулю.
К примеру, Р4(х)=2x4-3x3+x2+х+5 - это многочлен со степенью 4. В этом примере значения многочлена при х=0; 1 и 2 равны Р4(0)=5, Р4(1)=6, Р4(2)=19 соответственно.
Многочлен можно представить в виде графика, отмечая значения у=Рn(х) на графике в соответствии со значениями х.
5x3y – 7x8y2+5 – степень этого многочлена = 10.
0 – степень этого (нулевого) многочлена неопределена.
График многочлена со степенью семь:
Еще одно определение:
Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена - это самая большая из степеней одночленов, которые входят в этот многочлен.
Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы 2-х либо нескольких выражений на всякое выражение равняется сумме произведений всех из слагаемых на это выражение:
(p+ q+ r) a = pa + qa + ra - раскрытие скобок.
Вместо букв p, q, r, a можно взять всякое выражение.
К примеру:
(x+y+z)(a+b) = x(a+b) + y(a+b) + z(a+b) =
= xa + xb + ya + yb + za + zb .
Произведение сумм равняется сумме каждого возможного произведения всех слагаемых 1-ной суммы на все слагаемое другой суммы.
Одночлены, которые входят в состав многочлена, являются его членами. Членами многочлена 4x3y – 3ab будут 4x3y и –3ab.
Если многочлен состоит из 2-х членов, то он называется двучленом:
5x3y – 7a3b4; y+5b4; 7a2+13a4.
Если из 3-х – трехчленом:
5x3y – 7a3b4+5; y+5b4– 3x3; 7a2+13a4+5ab2.
Одночлен является многочленом, который состоит из одного члена:
2x2; 3; 0; 7x3y4.
Похожие слагаемые в многочлене являются подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене – приведением подобных членов многочлена. К примеру:
5x3y – 7x3y+5 = – 2x3y+5;
17ay2 – 7ay2+5ay2+a = 15ay2+a.
Когда каждый одночлен в многочлене приведен к стандартному виду и среди них нет подобных, то такой многочлен является многочленом стандартного вида.
нестандартный вид стандартный вид
5x2yx – 7xyx2+5axa = 5a2x – 2x3y.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду:
нестандартный вид стандартный вид
22a3b – 12a3b+5aba2+5ab = 15a3b+5ab.