Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами вида:

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Одним из самых распространенных видов дифференциальных уравнений (ДУ) называют Линейные однородные дифферениальные уравнения (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами.

Для их решения не требуется особых усилий, они являютя достаточно легкими. Рассмотрим метод решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 

Первым шагом необходимо найти корни характеристического уравнения корни характеристического уравнения  линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Когда p и q не равны друг другу, могут возникнуть 3 варианта: корни характеристического уравнения могут оказаться действительными и различающимися корни характеристического уравнения действительные и различающиеся линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, действительными и совпадающими корни характеристического уравнения действительные и совпадающие линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами либо сопряженными комплексно корни характеристического уравнения сопряженные комплексно линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Учитывая значения корней характеристического уравнения, записываем общее решение нашего дифференциального уравнения в виде:

общее решение нашего дифференциального уравнения, либо

общее решение нашего дифференциального уравнения, либо

общее решение нашего дифференциального уравнения соответственно.

Как пример разберем решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами формула:

У этого характеристического уравнения формула корнями оказываются k1 = -3 и k2 = 0. Данные корни являются действительными и различными, а, значит, общее решение линейного однородного дифферциального уравнения с постоянными коэффициентами пример вид:


общее решение линейного однородного дифферциального уравнения с постоянными коэффициентами

Более подробно о теории и различные примеры с решением и задачи можете найти тут: линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, примеры решения.