Свойства сторон и углов параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны имеют одинаковую длину, а противоположные углы равную величину.

 

Геометрические фигуры. Параллелограмм. Свойства сторон и углов параллелограмма.

Дано:

ABCD — параллелограмм.

 

Доказать:

AB=CD, AD=BC,

A=C, B=D.

 

Доказательство:

Проводим в параллелограмме ABCD диагональ BD.

Геометрические фигуры. Параллелограмм. Свойства сторон и углов параллелограмма.

Рассматриваем треугольники ABD и CDB. Здесь важно правильно указать треугольники.

 

1) Сторона BD является общей.

2) ABD=CDB (как внутренние накрест лежащие при ABCD и секущей BD)

3) ADB=CBD (как внутренние накрест лежащие при ADBC и секущей BD)

 

То есть,  ∆ABD= ∆CDB (по стороне и 2-м прилежащим к ней углам).

 

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

 

AB=CD, AD=BC

 

и равенство соответствующих углов:

A=C.

 

В пунктах 2) и 3) объяснено, что ABD=CDB и ADB=CB.

 

Значит,

ABC=ABD+CBD=CDB+ADB=ADC,

 

Т.е., B=D. Что и требовалось доказать.

                                    

Свойство углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

Сумма углов параллелограмма, которые прилежат к одной стороне соответствует 180 градусам.

 

Это свойство выходит из того, что углы, которые прилежат к 1-ой стороне параллелограмма оказываются внутренними односторонними углами при параллельных прямых.

 

Для параллелограмма ABCD:

 

A+B=180º (как внутренние односторонние при ADBC и секущей AB;

C+D=180º (как внутренние односторонние при ADBC и секущей CD;

A+D=180º (как внутренние односторонние при ABCD и секущей AD;

B+C=180º (как внутренние односторонние при ABCD и секущей BC.

 

Еще некоторые свойства углов параллелограмма:

 

Биссектрисы углов параллелограмма, которые прилежат к одной стороне, — перпендикулярны.

Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма — параллельны.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.