Свойства сторон и углов параллелограмма.
У параллелограмма противоположные стороны имеют одинаковую длину, а противоположные углы равную величину.
Дано:
ABCD — параллелограмм.
Доказать:
AB=CD, AD=BC,
∠A=∠C, ∠B=∠D.
Доказательство:
Проводим в параллелограмме ABCD диагональ BD.
Рассматриваем треугольники ABD и CDB. Здесь важно правильно указать треугольники.
1) Сторона BD является общей.
2) ∠ABD=∠CDB (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BD)
3) ∠ADB=∠CBD (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей BD)
То есть, ∆ABD= ∆CDB (по стороне и 2-м прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
AB=CD, AD=BC
и равенство соответствующих углов:
∠A=∠C.
В пунктах 2) и 3) объяснено, что ∠ABD=∠CDB и ∠ADB=∠CB.
Значит,
∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB=∠ADC,
Т.е., ∠B=∠D. Что и требовалось доказать.
Свойство углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.
Сумма углов параллелограмма, которые прилежат к одной стороне соответствует 180 градусам.
Это свойство выходит из того, что углы, которые прилежат к 1-ой стороне параллелограмма оказываются внутренними односторонними углами при параллельных прямых.
Для параллелограмма ABCD:
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB;
∠C+∠D=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей CD;
∠A+∠D=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей AD;
∠B+∠C=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей BC.
Еще некоторые свойства углов параллелограмма:
Биссектрисы углов параллелограмма, которые прилежат к одной стороне, — перпендикулярны.
Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма — параллельны.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.