Алгоритм определения общего решения ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами решении линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Запишем характеристическое уравнение k2 + p ⋅ k + q = 0.

2. Найдем корни характеристического уравнения k1 и k2.

3. Учитывая значения корней характеристического уравнения, запишем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами как:

  • общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами, если общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами;
  • общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами, если общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами;
  • общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами, если общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Что бы лучше все понять, разберем примеры для всех случаев.

Пример 1.

Найдем общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решение.

Для начала записываем характеристическое уравнение k2 + 4 ⋅ k + 4 = 0 и находим его корни:


общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

После проведения рассчетов у нас получилось 2 совпадающих корня, а, значит, общее решение выглядит так:

общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 2.

Найдем общее решение ДУ Найдем общее решение ДУ.

Решение.

У нас есть линейное однородное дифферениальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Записываем характеристическое уравнение и находим корни этого уравнения:


характеристическое уравнение и корни этого уравнения

Корни в этом случае являются действительными и различными, значит, общее решение однородного уравнения будет выглядеть так:

общее решение однородного уравнения .

Пример.

Найдем общее решение ДУ общее решение ДУ.

Решение.

Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит так: k2 - k + 3 = 0. Вычислим корни этого уравнения:


Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами корни

Отсюда получено два комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, значит, общее решение исходного уравнения выражаем так:


два комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, значит, общее решение исходного уравнения