Перевод физических величин Перевод курсов валют ЦБ РФ Кредитный калькулятор Сбербанка

Формулы сокращенного умножения.

 

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. А значит  будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

 

И так вот они:

 

Первая  х2 - у2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить  разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у)2 = х2 + 2ху + у2.  Чтобы найти квадрат суммы двух выражений  нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х - у)2 = х2 – 2ху + у2. Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у)3 = х3 + 3х2у + 3ху2 + у3.   Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая  (х - у)3 = х3 – 3х2у + 3ху2 - у3.  Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от  куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая  х3 + у3 = (х + у) (х2 - ху + у2)  Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х3 - у3 = (х - у) (х2 + ху + у2)  Чтобы произвести вычисление  разности кубов двух выражений  надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

 О существовании этих закономерностей знали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли  жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы   (а + b)2 = a2 +2ab +b2.

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как  буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные  древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а2”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.

 

 И так Евклид взял квадрат со стороной (a + b):

 

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/contentable_static_image/140263/34222740_cf90_0131_b5f9_12313c0dade2.png

 

  S = (a + b)2 – площадь квадрата;

 

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/140206/9804b770_cf8f_0131_b5c0_12313c0dade2.jpg

 

С другой стороны, этот же квадрат он представить иначе, разделив сторону на а и b:

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

 

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/140208/997b3970_cf8f_0131_b5c2_12313c0dade2.png

 

 И так как квадраты были одинаковы, то их площади равны,  и это значит:

 

http://d3mlntcv38ck9k.cloudfront.net/content/konspekt_image/140210/9b305ce0_cf8f_0131_b5c4_12313c0dade2.png

 

Таким образом, была доказана геометрически формулу квадрата суммы.

 

 

Математика

А
Абсолютная величина. Модуль.
Арифметический корень.
В
Вычитание столбиком. Правила вычитания в столбик.
Г
Графики элементарных функций
Д
Действия с корнями
Деление в столбик.
Делимость натуральных чисел.
Дроби обыкновенные правильные и неправильные, смешанные и составные.
Дроби. Вычитание десятичных дробей.
Дроби. Вычитание дробей.
Дроби. Деление дробей.
Дроби. Десятичные дроби.
Дроби. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную.
Дроби. Перевод дробей в десятичные.
Дроби. Приведение дробей к общему знаменателю.
Дроби. Сложение десятичных дробей.
Дроби. Сложение дробей.
Дроби. Сокращение дробей.
Дроби. Сравнение дробей.
Дроби. Умножение десятичных дробей.
Дроби. Умножение и деление дробей.
Е
ЕГЭ математика - формулы, шпаргалки.
Единицы измерения. Основная информация.
И
Инвариант. Примеры инвариантов.
Л
Линейные функции.
М
Математические обозначения знаки, буквы и сокращения
Множитель. Разложение числа на множители Факторизация.
Н
Наибольший общий делитель НОД.
Наименьшее общее кратное НОК.
О
Округление чисел.
Основные математические постоянные
Основные свойства линейных функций.
Основы теории вероятностей. Дисперсия случайной величины.
Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины.
П
Показательная функция
Постоянная и переменная величина.
Продолжительность (с)
С
Сложение в столбик.
Случайная величина.
Способы задания функций.
Степенная функция.
Степень числа.
Т
Таблица простых чисел до 10 000.
Таблица разложения на простые множители до 10 000.
У
Умножение в столбик. Таблица Пифагора.
Ф
Формулы сокращенного умножения.
Ч
Числа. Вещественные числа.
Числа. Взаимно простые числа.
Числа. Вычитание натуральных чисел. Свойства разности.
Числа. Вычитание рациональных чисел.
Числа. Геометрическое представление комплексных чисел.
Числа. Действительные числа.
Числа. Деление рациональных чисел.
Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.
Числа. Иррациональные числа.
Числа. Комплексные (мнимые) числа.
Числа. Модуль числа.
Числа. Натуральные числа.
Числа. Произведение чисел. Свойства умножения.
Числа. Простые числа.
Числа. Разность чисел.
Числа. Рациональные числа.
Числа. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения натуральных чисел.
Числа. Сложение рациональных чисел.
Числа. Сложение чисел.
Числа. Сопряженное число.
Числа. Составные числа.
Числа. Трансцендентные числа.
Числа. Умножение рациональных чисел.
Числа. Целые числа. Свойства целых чисел.