Перевод физических величин Перевод курсов валют ЦБ РФ Кредитный калькулятор Сбербанка

Формулы сокращенного умножения.

 

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. А значит  будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

 

И так вот они:

 

Первая  х2 - у2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить  разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у)2 = х2 + 2ху + у2.  Чтобы найти квадрат суммы двух выражений  нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х - у)2 = х2 – 2ху + у2. Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у)3 = х3 + 3х2у + 3ху2 + у3.   Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая  (х - у)3 = х3 – 3х2у + 3ху2 - у3.  Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от  куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая  х3 + у3 = (х + у) (х2 - ху + у2)  Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х3 - у3 = (х - у) (х2 + ху + у2)  Чтобы произвести вычисление  разности кубов двух выражений  надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

 О существовании этих закономерностей знали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли  жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы   (а + b)2 = a2 +2ab +b2.

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как  буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные  древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а2”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.

 

 И так Евклид взял квадрат со стороной (a + b):

 

Формулы сокращенного умножения.

 

  S = (a + b)2 площадь квадрата;

 

Формулы сокращенного умножения.

 

С другой стороны, этот же квадрат он представить иначе, разделив сторону на а и b:

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

 

Формулы сокращенного умножения.

 

 И так как квадраты были одинаковы, то их площади равны,  и это значит:

 

Формулы сокращенного умножения.

 

Таким образом, была доказана геометрически формула квадрата суммы.

 

 

Алгебра

А
Алгебра
Алгебраические дроби.
Алгоритм нахождения общего решения ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
В
Второй метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка.
Выделение из квадратного трехчлена полного квадрата.
Г
График квадратного трехчлена (парабола).
График функции квадратного корня, преобразования графиков.
Д
Дифференциальное уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков: ЛНДУ, примеры решения.
Дифференциальные уравнения высших порядков: ЛОДУ и ЛНДУ.
Дифференциальные уравнения высших порядков: ЛОДУ, примеры решения.
Дифференциальные уравнения высших порядков: линейные однородные и неоднородные, с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных.
Дифференциальные уравнения высших порядков: решение ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. Примеры решения.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Примеры решения.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка, примеры.
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения: системы дифференциальных уравнений.
Дифференцирование.
Е
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Абсолютная величина (модуль) действительного числа.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Бесконечные произведения.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Вырожденные гипергеометрические функции.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Вычеты.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Гамма-функция.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Гиперболические функции.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Действия с рядами.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Действия со степенными рядами.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Дифференцирование функций комплексного переменного.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Дроби.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Интегралы от иррациональных функций.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Интегралы от рациональных функций.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Интегралы от тригонометрических функций.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Интегралы, зависящие от параметра.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Интегралы, содержащие гиперболические функции.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Интегралы, содержащие показательную функцию.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Интегрирование функций комплексного переменного.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Каноническое разложение натурального числа.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Комбинаторика и бином Ньютона.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Комплексные числа.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Конформные отображения.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Корни квадратного уравнения.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Корни уравнения 4-й степени.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Кратные интегралы.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Криволинейные интегралы.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Модифицированные функции Бесселя I и K.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Некоторые бесконечные произведения.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Некоторые интегральные функции.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Некоторые конечные суммы.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Некоторые определенные интегралы.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Некоторые степенные ряды.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Некоторые числовые ряды.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Неопределенные интегралы от элементарных функций.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Неравенства.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Несобственные интегралы.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Определенный интеграл.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Первообразная и неопределенный интеграл.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Поверхностные интегралы.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Пределы некоторых последовательностей.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Признаки делимости натуральных чисел.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Признаки сходимости знакопеременных рядов.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Признаки сходимости функциональных рядов.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Приложения определенного интеграла.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Производные и дифференциалы.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Производные от элементарных функций.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Пропорции.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Радиус сходимости R степенного ряда.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Ряды.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Свойства бесконечных произведений.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Свойства неопределенного интеграла.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Свойства определенного интеграла.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Свойства пределов последовательностей.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Свойства производных и дифференциалов.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Свойства рядов.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Свойства функциональных рядов.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Степени и логарифмы.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Формулы Виета.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Формулы сокращенного умножения.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Функции Бесселя.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Функции комплексного переменного.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Функциональные ряды.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Частные производные и дифференциалы.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Числовые последовательности.
ЕГЭ формулы, шпаргалки - Числовые ряды.
И
Интегралы функций.
К
Квадратные уравнения. Дискриминант.
Квадратные уравнения. Полное и неполное квадратное уравнение.
Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений.
Квадратные уравнения. Решение полных квадратных уравнений.
Квадратный корень.
Квадратный трехчлен.
Корни характеристического уравнения ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Кубические уравнения. Возвратное кубическое уравнение. Двучленное кубическое уравнение.
Кубические уравнения. Метод перебора при решении кубических уравнений.
Кубические уравнения. Общие понятия.
Кубические уравнения. Тригонометрическая формула Виета.
Кубические уравнения. Формула Кардано для решения кубических уравнений.
Л
ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, примеры
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные неравенства.
Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами - примеры
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
Линейные уравнения. Виды линейных уравнений.
Линейные уравнения. Решение линейных уравнений.
Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Метод подстановки.
Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.
Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.
Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.
Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод вращения.
Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Метод прогонки.
Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Способ сложения.
Линейные уравнения. Система линейных уравнений.
Логарифм (понятие).
Логарифм. Десятичный логарифм.
Логарифм. Натуральный логарифм.
Логарифм. Основание логарифма.
Логарифм. Основное логарифмическое тождество.
Логарифм. Основные способы решения логарифмических уравнений.
Логарифм. Свойства логарифма (корень логарифма, смена основания).
Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание).
Логарифм. Свойства логарифма (степень логарифма).
М
Метод вариации произвольной постоянной для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка.
Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - А и В числа
Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - многочлен n-ой степени
Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - многочлен степени n и экспонента
Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - многочлены степени n, k, m
Методы решения ЛНДУ 2-го порядка - общее
Методы решения дифференциального уравнения Бернулли.
Мнимая единица.
Многочлен.
Многочлен. Действия с многочленами.
Множество чисел. Натуральный ряд.
Множество чисел. Подмножества (простые и целые числа).
Множество чисел. Подмножества (рациональные и иррациональные числа).
Множество чисел. Подмножества.
Множество чисел. Элементы множества.
Н
Неравенства. Квадратные неравенства.
Неравенства. Логарифмические неравенства.
Неравенство. Понятие неравенства.
Неравенство. Решение неравенства.
Неравенство. Система линейных неравенств.
Неравенство. Система неравенств.
О
Одночлен. Подобные одночлены. Степень одночлена.
П
Понижение порядка ДУ, не содержащих искомую функцию и производных до k–1 порядка
Понижение порядка ДУ, не содержащих независимую переменную
Правила дифференцирования. Вынесение постоянного множителя за знак производной.
Правила дифференцирования. Производная произведения функций.
Правила дифференцирования. Производная суммы, производная разности.
Правила дифференцирования. Производная частного двух функций (производная дроби).
Прогрессии (арифметическая, геометрическая), формулы.
Прогрессия арифметическая. Вычисление любого члена арифметической прогрессии.
Производная функции.
Пропорция.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.
Р
Решение дифференциальных уравнений. Общая информация.
Решение простейших дифференциальных уравнений первого порядка.
Решение уравнений содержащих модуль. Раскрытие модуля.
Ряд Тейлора. Ряды Маклорена.
Т
Таблица квадратных и кубических корней, таблица Брадиса для квадратных корней.
Теорема Безу. Схема Горнера.
Теорема Виета.
Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.
У
Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение cos х = а.
Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение sin х = а.
Уравнение. Простейшие тригонометрические уравнения tg х = а и ctg х = а.
Уравнения в полных дифференциалах.
Уравнения в полных дифференциалах. Примеры решения.
Уравнения. Иррациональные уравнения.
Ф
Формула Ньютона — Лейбница.
Формула Тейлора.
Формула Эйлера.
Формулы – интегралы.
Формулы дифференцирования. Правила дифференцирования.
Формулы интегрирования.
Формулы производных сложных функций.
Формулы производных.
Формулы сокращенного умножения.
Формулы степеней и корней.
Функция линейная. Основные свойства линейных функций.
Функция.
Функция. Линейные функции.
Функция. Логарифмическая функция.
Функция. Область определения функции.
Функция. Показательная функция.
Функция. Способы задания функций.
Функция. Степенная функция.
Ч
Числа. Возведение комплексных чисел в степень.
Числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
Числа. Показательная и алгебраическая формы представления комплексного числа.
Числа. Степень числа.
Числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Число Пи.