Формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения.

 
Кликните, чтобы добавить в избранные сервисы.
 
Кликните, чтобы удалить из избранных сервисов.
    Распечатать

 

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. А значит  будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

 

И так вот они:

 

Первая  х2 - у2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить  разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у)2 = х2 + 2ху + у2.  Чтобы найти квадрат суммы двух выражений  нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х - у)2 = х2 – 2ху + у2. Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у)3 = х3 + 3х2у + 3ху2 + у3.   Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая  (х - у)3 = х3 – 3х2у + 3ху2 - у3.  Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от  куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая  х3 + у3 = (х + у) (х2 - ху + у2)  Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х3 - у3 = (х - у) (х2 + ху + у2)  Чтобы произвести вычисление  разности кубов двух выражений  надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

 О существовании этих закономерностей знали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли  жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы   (а + b)2 = a2 +2ab +b2.

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как  буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные  древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а2”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.

 

 И так Евклид взял квадрат со стороной (a + b):

 

Формулы сокращенного умножения.

 

  S = (a + b)2 площадь квадрата;

 

Формулы сокращенного умножения.

 

С другой стороны, этот же квадрат он представить иначе, разделив сторону на а и b:

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

 

Формулы сокращенного умножения.

 

 И так как квадраты были одинаковы, то их площади равны,  и это значит:

 

Формулы сокращенного умножения.

 

Таким образом, была доказана геометрически формула квадрата суммы.